Solution du Problème de Carleman pour un intervalle ouvert fini. (Q2590823)

Die Bezeichnungen sind dieselben wie in der vorstehend besprochenen Note. Weiter bedeute \[ S(r)=\kern-3pt\max_{0\leqq m\leqq r}\frac{r^m}{A_m},\quad A_n^0=\underset{r\geqq n}{\text{fin sup}}\,\frac{r^n}{S(r)}. \] In Beantwortung einer Frage von \textit{Carleman} teilen Verf. den Satz mit: Damit in einem offenen endlichen Intervall die Klasse \(\{A_n\}\) in der Klasse \(\{A_n'\}\) enthalten ist, ist notwendig und hinreichend \[ \varlimsup_{n\to\infty }\biggl(\frac{A_n^0}{A_n'}\biggr)^\tfrac{1}{n}<+\infty, \] oder, was dasselbe ist \[ \varlimsup_{n\to\infty }\biggl(\frac{A_n^0}{A_n^{\prime 0}}\biggr)<+\infty, \] wo \(A_n^{\prime 0}\) ebenso aus \(A_{n}'\) abgeleitet ist, wie \(A_n^0\) aus \(A_{n}\). Der Beweisgang wird angedeutet.