Quelques nouvelles considérations sur les classes de fonctions dont les dérivées sont bornées. (Q2590825)

Die Klasse \(\{A_n\}\) heißt in einem offenen Intervall ableitbar (dérivable), wenn aus der Tatsache, daß \(f\) zu \(\{A_n\}\) gehört, folgt, daß auch \(f'\) zu \(\{A_n\}\) gehört. Es bezeichne: \[ \begin{alignedat}{3} &T(r)&&=\underset{n\geqq 0}{\text{fin sup}}\frac{r^n}{A_n}, &S(r)&=\underset{0\leqq n\leqq r}{\text{fin sup}}\frac{r^n}{A_n},\\ &A_n^{\overline{c}}&&=\underset{r\geqq n}{\text{fin sup}}\frac{r^n}{S(r)},\;\;&A_n^{\underline{0}}&=\underset{r\geqq n}{\text{fin sup}}\frac{r^n}{T(r)}.\end{alignedat} \] Man setze \(A_n^{\overline{c}}=B_n\) und bilde \[ A_n^{\overline{c}\underline{0}}=B_n^{\underline{0}}. \] Dann gilt der Satz: Wenn in einem offenen Intervall \(f(x)\) und \(\varphi (x)\) zu einer ableitbaren Klasse gehören, dann gehört \(f(x)\varphi (x)\) im gleichen Intervall zur Klasse \(\bigl\{A_n^{\overline{c}\underline{0}}\bigr\}\). Es folgen noch Bemerkungen über die geometrische Lage der Punkte mit den rechtwinkligen Koordinaten \[ \bigl(n, \log\,A_n^0\bigr),\;\;\bigl(n, \log\,A_n^c\bigr),\;\;\bigl(n, \log\,A_n^{\underline{0}}\bigr),\;\;\bigl(n, \log\,A_n^{\overline{c}\underline{0}}\bigr). \] (Vgl. auch vorletztes Referat.)