Sur une propriété remarquable des fonctions indéfiniment dérivables. (Q2590826)

Verf. nennt eine in \((a, b)\) erklärte Funktion \(f(x)\) vom ``stark (fortement) quasianalytischen Typ'', wenn eine Folge von positiven Zahlen \(M_{n}\) derart existiert, daß die Reihe \(\displaystyle \sum\frac{1}{\overset{\;n\hfill}{\sqrt{M_n}}}\) divergiert, und wenn in jedem abgeschlossenen Teilintervall \([a, \beta ]\) von \((a, b)\) gilt: \(|\,f^{(n)}(x)\,|<K^nM_n(n=1, 2,\dots )\), wo \(K\) nur von \(\alpha \), \(\beta \) abhängt. \(f(x)\) heißt im abgeschlossenen Intervall \([a, b]\) vom stark quasi-analytischen Typ, wenn die voranstehenden Ungleichungen im ganzen Intervall \([a, b]\) gelten. Dann besteht der Satz: Jede in einem abgeschlossenen Intervall \([a, b]\) beliebig oft differenzierbare Funktion \(f\) ist im offenen Intervall \((a, b)\) in die Summe von zwei Funktionen vom stark quasianalytischen Typ zerlegbar. Der in großen Zügen angedeutete Beweis beruht auf der Zerspaltung der Entwicklung von \(f\) nach Tschebycheffschen Polynomen in zwei geeignete Teilreihen. Im Anschluß an eine Fragestellung von \textit{Carleman} (Les fonctions quasi analytiques (1926; F. d. M. 52, 255 (JFM 52.0255.*)), S. 77) zeigt Verf.: Jede nicht identisch verschwindende Funktion, die in \([a - \varepsilon, b+\varepsilon ]\) beliebig oft differenzierbar ist und deren sämtliche Ableitungen in einem Punkt \(x_{0}\) von \((a, b)\) verschwinden, ist in \([a, b]\) die Differenz von zwei Funktionen vom stark quasi-analytischen Typ, deren sämtliche Ableitungen in \(x_0\) übereinstimmen.