Eine Bemerkung über Umordnung von Reihen reeller Funktionen. (Q2590846)

Allgemein bekannt ist der Riemannsche Umordnungssatz, der sich auf unendliche Reihen \(\sum a_n\) mit konstanten reellen Gliedern bezieht. Demgegenüber beweist Verf. die folgende Aussage über die Umordnung reeller Funktionenreihen: Zu jedem festen Intervall \(\langle a, b\rangle\) gibt es eine unendliche Reihe \(\sum f_n(x)\) reeller Funktionen, die in \(\langle a, b\rangle\) bedingt konvergiert und bei jeder beliebigen Vorgabe einer in \(\langle a, b\rangle\) stetigen Funktion \(f(x)\) so umgeordnet werden kann, daß die umgeordnete Reihe gleichmäßig in \(\langle a, b\rangle\) gegen \(f(x)\) konvergiert. Dabei nennt Verf. eine Funktionenreihe \(\sum f_n(x)\) bedingt konvergent, falls \(\sum |\,f_n(x)\,|\) für mindestens ein \(x\) der Konvergenzmenge divergiert. Der Beweis wird durch Konstruktion geführt. Dabei werden der Weierstraßsche Approximationssatz und der Riemannsche Umordnungssatz benützt.