Untersuchung der alternierenden Folgen mit Hilfe zugeordneter Potenzreihen. (Q2590848)

Angeregt durch wahrscheinlichkeitstheoretische Fragen, aber unabhängig von ihnen, untersucht Verf. die Gesamtheit der Folgen \(a\equiv (a_0, a_1\dots )\), deren Glieder \(a_{\nu }\) nur die Werte 0 oder 1 annehmen. Jeder Folge \(a\) entspricht eindeutig eine reelle Zahl \(a\) in \(0\leqq a \leqq 1\), deren dyadische Entwicklung 0, \(a_0a_1a_2\),\dots ist. Umgekehrt entspricht so jeder reellen Zahl \(a\) in \(\langle 0, 1\rangle\) genau eine Folge \(a\), außer den rationalen Zahlen \(a=\overline{a}=p/2^m\), \(0 < p < 2^m\), denen je genau zwei Folgen \(a\) entsprechen. Von dieser weiterhin zu beachtenden Zweideutigkeit abgesehen entspricht auch jedem \(a\) eine Potenzreihe \[ y=\varphi (x)=\varphi (x, a)=(1-x)\textstyle \sum\limits_{\nu =0}^{\infty }a_\nu x^\nu, \] die in \(0\leqq x\leqq 1\) betrachtet wird. Wegen \(0\leqq a_\nu \leqq 1\) liegt das Kurvenbild \(y=\varphi (x)\) ganz im Einheitsquadrat \(0\leqq x\), \(y\leqq 1\); überdies ist \(\varphi (\frac{1}{2}, a)=a\). Die weitere Untersuchung, die im ganzen keine Schwierigkeiten bereitet, aber wegen mannigfacher Berührungspunkte mit anderweitigen Fragen Interesse erregt und verdient, erstreckt sich nun hauptsächlich auf die Art, wie die Kurven \(\varphi \) das Einheitsquadrat erfüllen. In der linken Hälfte liegen die Dinge ziemlich einfach. Es gelten unter anderen die Sätze: 1) In \(0 < x < \frac{1}{2}\) verlaufen die Kurven schnittpunktfrei. 2) Bei festem \(x\) in \(0 < x < \frac{1}{2}\) ist die Menge der \(y=\varphi (x, a)\) eine perfekte nirgends dichte Menge vom Maße 0. Durchläuft \(x\) das Intervall \(0\boldsymbol\cdot\boldsymbol\cdot\boldsymbol\cdot\frac{1}{2}\), so geht diese Menge stetig von den beiden linken Eckpunkten des Quadrates in seine Mittellinie \(x = \frac{1}{2}\) über. Für \(x=\frac{1}{3}\) erhält man das klassische Cantorsche Beispiel für eine Menge der genannten Art. 3) Der Raum zwischen den beiden (zu demselben \(\overline{a}\) gehörigen) Kurven, die zu den Enden eines Lückenintervalles der in 2) genannten Menge führen, ist frei von Kurven. Etwas schwieriger liegen die Dinge in dem Innern \(\mathfrak R\) der rechten Hälfte des Quadrates (\(\frac{1}{2} < x < 1\), \(0 < y < 1\)). Hier gilt zunächst: 4) Durch jeden Punkt von \(\mathfrak R\) geht mindestens eine Kurve \(\varphi \). 5) Durch jeden Punkt einer \(\varphi (x, \overline{a})\) in \(\mathfrak R\) geht mindestens noch eine von ihr verschiedene Kurve \(\varphi \). 6) Die Kurven \(\varphi (x, \overline{a})\) bedecken \(\mathfrak R\) überall dicht. Nennt man den Punkt \((\frac{1}{2}, a)\) den Spurpunkt von \(\varphi (x, a)\), so gilt weiter: 7) Zwei verschiedene Kurven \(\varphi \) durch denselben Punkt von \(\mathfrak R\) haben verschiedene Spurpunkte. 8) Die Menge der Spurpunkte aller durch einen festen Punkt \((x_0, y_0)\) von \(\mathfrak R\) gehenden Kurven \(\varphi \) hat die Mächtigkeit \(c\), falls \(\frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)<x_0<1\) ist. Für \(\frac{1}{2}<x_0<\frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)\) liegen die Dinge schwieriger und können hier nicht im einzelnen angeführt werden. Im letzten (vierten) Kapitel wird die Frage nach dem Grenzwert von \(\varphi (x)\) für \(x\to1-0\) behandelt. (Wegen des Hardy-Littlewoodschen Satzes von der Äquivalenz des \(C_1\)- und \(A\)-Verfahrens bei der Limitierung positiver divergenter Folgen ist er übrigens dann und nur dann vorhanden, wenn die Folge \(a\) eine Wahrscheinlichkeitsfolge ist, d. h. die relative Häufigkeit der Einsen in ihr einem Grenzwert zustrebt.) Auf Grund eines Borelschen Satzes gilt zunächst: 9) Die \(\varphi (x, a)\) haben ``fast alle'' den Grenzwert \(\frac{1}{2}\), d. h. die \(a\), für die dies nicht gilt, bilden eine Nullmenge. -- Durch Hinweis auf (im wesentlichen bekannte) Beispiele ergibt sich weiter: 10) Die Menge der \(a\), für die \(\varphi (x, a)\) keinen Grenzwert hat, hat auch die Mächtigkeit \(\mathfrak c\). Zu ihnen gehören insbesondere die \(\varphi (x, a)\), für die \(a\) eine Liouvillesche Zahl ist. Es gilt aber sogar: 11) Auch die Menge der \(\varphi (x, a)\), die einen Grenzwert haben, der von \(\frac{1}{2}\) verschieden ist, hat ebenfalls die Mächtigkeit \(\mathfrak c\). Ein Teil der Ergebnisse rührt von \textit{P. E. Böhmer}, dem Berichterstatter für die Dissertation, her.