Sulla convergenza in media della formula di interpolazione di Hermite. (Q2590894)

Die Verf. legen der Hermiteschen Einschaltung einer Funktion \(f(x)\) durch Polynome \(X_n(x)\) als Schaltstellen \(x_k^{(n)}\) die Nullstellen des Tschebyscheffschen Polynoms zweiter Art \[ U_n(x)=\frac{\sin\, (n+1)\,\vartheta }{\sin\, \vartheta },\;\;x=\cos\, \vartheta \] zugrunde, \(f(x)\) sei stetig; sind dann die Werte \(y_k^{\prime (n)}=X_n'\bigl(x_k^{(n)}\bigr)\) von der Art \(o(\sqrt{n})\), so ist \[ \lim_{n\to\infty }\textstyle \int\limits_{-1}^{+1}\sqrt{1-x^2}\bigl[X_n(x)-f(x)\bigr]^2\,dx=0. \] Der Beweis dafür benutzt die von \textit{Feldheim} (Math. Z. 44 (1938), 55-84; JFM 64.0249.*; vgl. S. 79) angegebene Entwicklung der Hermiteschen Grundpolynome nach den \(U_n(x)\).