Sur les multiplicateurs des séries de Fourier. (Q2590921)

Eine Zahlenfolge \((\lambda_{\nu})\) heiße ein ``Multiplikator'' der Klassen \(L^r\) und \(L^s\), in Zeichen \((\lambda_{\nu}) \in (L^r, \,L^s)\), wenn für jede Funktion \(f(x) \in L^r\) die aus ihrer Fourierreihe \[ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{\nu=1}^{\infty} (a_{\nu} \,\cos \,\nu x + b_{\nu} \,\sin \,\nu x) \] gebildete Reihe \[ \sum_{\nu=1}^{\infty} \lambda_{\nu} (a_{\nu} \,\cos \,\nu x + b_{\nu} \,\sin \,\nu x) \] eine Funktion der Klasse \(L^s\) darstellt. Entsprechend werden Multiplikatoren für Fourierreihen von Funktionen mehrerer Veränderlichen definiert. (1) Verf. zeigt zunächst: Erfüllt die Folge \((\lambda_{\nu})\) für eine Konstante \(M\) die Ungleichungen \[ |\, \lambda_{\nu} \,| \leqq M \qquad (\nu=1, \,2, \,3, \ldots), \] \[ \sum_{\nu=2^{\alpha}}^{2^{\alpha+1}} |\, \lambda_{\nu}-\lambda_{\nu+1} \,| \leqq M \qquad (\alpha=0, \,1, \,2, \ldots), \] so gilt für jedes \(r > 1\) \[ (\lambda_{\nu}) \in (L^r, \,L^r). \] (2) Der Satz läßt sich auf Fourierreihen von Funktionen mehrerer Veränderlicher erweitern. Die Erweiterung auf Fouriersche Doppelreihen lautet: Erfüllt die Doppelfolge \((\lambda_{\mu \nu})\) für festes \(M\) die Ungleichungen \[ \sum_{\mu=2^{\alpha}}^{2^{\alpha+1}-2} \sum_{\nu=2^{\beta}}^{2^{\beta+1}-2} |\, \lambda_{\mu \nu}-\lambda_{\mu+1, \nu}-\lambda_{\mu, \nu+1}+ \lambda_{\mu+1, \nu+1} \,| \] \[ +\sum_{\mu=2^{\alpha}}^{2^{\alpha+1}-2} |\, \lambda_{\mu, 2^{\beta+1}}\lambda_{\mu+1, 2^{\beta+1}} \,|+\sum_{\nu=2^{\beta}}^{2^{\beta+1}-2} |\, \lambda_{2^{\alpha}, \nu}-\lambda_{2^{\alpha}, \nu+1} \,|+ |\, \lambda_{2^{\alpha+1}-1, 2^{\beta+1}-1} \,| \leqq M \] \((\alpha, \,\beta=0, \,1, \,2, \ldots)\), so gilt für jedes \(r > 1\) \[ (\lambda_{\mu \nu}) \in (L^r, \,L^r). \] Als Anwendung des Satzes (2), der das Hauptergebnis der Note darstellt, werden spezielle Multiplikatoren angegeben. Sie lauten für Fouriersche Doppelreihen \[ \left( \frac{m^2}{m^2+n^2} \right) \in (L^r, \,L^r), \quad \left( \frac{n^2}{m^2+n^2} \right) \in (L^r, \,L^r), \quad \left( \frac{mn}{m^2+n^2} \right) \in (L^r, \,L^r) \qquad (r>1). \] Schließlich wird noch eine Verallgemeinerung der Sätze (1) und (2) gegeben.