Sistemi di polinomi ortogonali soddisfacenti a date condizioni. (Q2590969)

Im Gegensatz zum Schmidt-Gramschen Verfahren der Orthogonalisierung einer vorgelegten Funktionenfolge, das ein \textit{rekurrentes} Verfahren ist, wird in der vorliegenden Arbeit für den Fall der Orthogonalisierung einer Polynomfolge ein Verfahren zur \textit{independenten} Darstellung der zugehörigen Orthogonalpolynome entwickelt. Daß hierbei ganz allgemein solche zum Intervall \((a, b)\) gehörige polynomische Orthogonalsysteme \(p_n(x)= \sum\limits_{\nu=0}^{n}c_{\nu}x^{\nu}\) (mit \(c_n = 1\)) betrachtet werden, die zu einer beliebigen positiven Belegungsfunktion \(Q(x)\) gehören und überdies vorgegebenen linear-homogenen Randbedingungen der Gestalt \[ \sum_{k=0}^{r} [\alpha_{ik} p_n^{(k)}\, (a) - \beta_{ik} p_n^{(k)}\, (b)]=0 \qquad \text{für}\; i = 1, 2, \ldots \!, s \quad \text{und alle }n \tag{1} \] genügen sollen, ist vom methodischen Standpunkt aus unwesentlich. Den Kernpunkt des Verfahrens bildet der Satz, daß sich \(p_n(x)\) als Lösung der Variationsaufgabe \[ \int\limits_{a}^{b} Q(x)\, p_n^2(x)\, dx=\min \] unter der Nebenbedingung \(p_n^{(n)}(x)=n!\) und den Randbedingungen (1) erweist. Es werden folgende Beispiele durchgerechnet: (a) \(Q(x)=1\) und \(a=0\), \(b=1\) mit den Randbedingungen: 1. \(p_n(0)=0\); 2. \(p_n(0)=p_n(1)=0\); 3. \(p_n(0)=p_n^{\prime}(0)=0\); 4. \(p_n(0)=p_n^{\prime}(0)=p_n(1)=p_n^{\prime}(1)=0\); 5. \(Ap_n(0)+Bp_n(1)=0\). (b) \(Q(x)=x^{\alpha}(1-x)^{\beta}\) mit \(\alpha, \beta > -1\) und \(a=0\), \(b=1\); keine Randbedingungen. (c) \(Q(x)=e^{-\alpha x}\) und \(a=0\), \(b=\infty\); keine Randbedingungen. (d) \(Q(x)=1\), \(a=0\), \(b=1\) und unter der weiteren Annahme, daß \(p_n(x)\) die Gestalt \(P_n^{\prime \prime}(x) + P_n(x)\) hat, wo \(P_n(x)\) gleichfalls Polynome sind, die den Randbedingungen \(P_n(0)=P_n(1)=0\) genügen. In den ersten fünf Fällen wird die Vollständigkeit des Orthogonalsystems bewiesen.