On certain expansions involving Bessel functions and Whittaker's \(M\)-functions. (Q2591011)

Mittels der Barnesschen Integraldarstellung der verallgemeinerten hypergeometrischen Reihe werden die Entwicklung \[ {}_pf_{q}(a_1, \,a_2, \ldots \!, a_p; \,\varrho_1+m, \,\varrho_2, \ldots \!, \varrho_q; \,x) \] \[ =\frac{2}{\varGamma(-m)} \sum_{r=0}^{\infty} \dfrac{\varGamma(\varrho_1+r-1) \,\varGamma \left( \dfrac{\varrho_1}{2}+r+ \dfrac{1}{2} \right) \,\varGamma(r-m)} {\varGamma(r+1) \,\varGamma \left( \dfrac{\varrho_1}{2}+r\dfrac{1}{2} \right) \,\varGamma(\varrho_1+m-r)}\, x^r \] \[ \times \; {}_pf_{q} {a_1+r, \,a_2+r, \ldots \!, a_p+r; \,x\choose {\varrho_1+2r, \,\varrho_2+r, \ldots \!, \varrho_q+r}} \] und zwei ähnliche abgeleitet, aus denen sich durch Spezialisieren der Parameter \(a_r\) und \(\varrho_r\) entsprechende Entwicklungen nach Besselschen und Whittakerschen Funktionen ergeben.