On Dixon's formula for well-poised series. (Q2591038)

\textit{Dixon} hat (Proc. London math. Soc. (1) 35 (1903), 284-289; F.~d.~M. 34, 490) die folgende Formel über verallgemeinerte hypergeometrische Funktionen hergeleitet, die für \(\mathfrak{R}(2+\alpha-2\beta-2\gamma)>0\) gültig ist: \[ {}_3F_2 {{\alpha, \, \beta, \, \gamma; \,1}\choose {\alpha-\beta+1, \,\alpha-\gamma+1}} \tag{1} \] \[ =\frac{\varGamma(1+\frac{1}{2} \alpha) \,\varGamma(1+\alpha-\beta) \, \varGamma(1+\alpha-\gamma) \,\varGamma(1+\frac{1}{2} \alpha-\beta-\gamma)} {\varGamma(1+\alpha) \,\varGamma(1+\frac{1}{2} \alpha-\beta) \, \varGamma(1+\frac{1}{2} \alpha-\gamma) \,\varGamma(1+\alpha-\beta-\gamma)}. \] Mit Hilfe einer Identität von \textit{Whipple} (Proc. London math. Soc. (2) 26 (1927), 257-272 (F.~d.~M. 53, 331), insbesondere p. 267), durch die die Funktion auf der linken Seite dieser Gleichung in ein \({}_3F_2\) mit einer anderen ersten Argumentreihe transformiert wird, und einer Formel von \textit{Thomae} über die Funktion \({}_3F_2\) (Math. Ann., Leipzig, 2 (1870), 427-444; F.~d.~M. 2, 122) gewinnt Verf. die folgende Darstellung: \[ {}_3F_2 {{\alpha, \,\beta, \,\gamma; \,z}\choose {\alpha-\beta+1, \, \alpha-\gamma+1}}=(1-z)^{-\alpha} \frac{\varGamma(\alpha-\beta+1) \, \varGamma(\alpha-\gamma+1)}{\varGamma \left( \dfrac{\alpha}{2} \right) \, \varGamma \left( \dfrac{1+\alpha}{2} \right) \, \varGamma(1+\alpha-\beta-\gamma)} E; \tag{2} \] darin ist \(E\) eine lineare homogene Verbindung von drei Funktionen \({}_3F_2\) verschiedener Argumente und jeweils dem Ausdruck \(-\dfrac{(1-z)^2}{4z}\) als viertes Glied der ersten Argumentreihe, und die Koeffizienten dieser Verbindung sind \(\varGamma\)-Funktionen, deren Argumente nur von \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) abhängen, sowie Potenzen von \(\dfrac{(1-z)^2}{4z}\) mit den Koeffizienten \(\dfrac{\alpha}{2}\) bzw. \(\dfrac{1+\alpha}{2}\) bzw. \(1+\alpha-\beta-\gamma\). Die vollständige Wiedergabe dieser Funktion \(E\) verbietet sich hier; im Original nimmt sie mehr als eine halbe Druckseite ein. Aus (2) erhält man für \(z=1\) und \(\mathfrak{R}(2+\alpha-2\beta-2\gamma)>0\) die Dixonsche Formel (1).