Generalizations to space of the Cauchy and Morera theorems. (Q2591056)

Der Cauchysche und der Morerasche Satz lassen sich zusammen so formulieren: Notwendig und hinreichend dafür, daß \(f(z)=x_1(u, \,v)+ix_2(u, \,v) \,(z=u+iv)\) in dem einfach zusammenhängenden Gebiet \(D\) regulär analytisch ist, ist, daß für jeden Kreis \(C\) in \(D\) gilt: \[ \sum_{j=1}^{2} \left( \int\limits_{C} x_j(u, \,v) \,dz \right)^2=0. \] Die Verf. fragen nach der Bedeutung der analogen Gleichung, wenn in \(D\) drei hinreichend oft differenzierbare Funktionen \(x_j(u, \,v)\), \(j = 1, \,2, \,3\), vorliegen. Sie finden, daß diese Gleichung notwendig und hinreichend dafür ist, daß \(D\) isotherm entweder auf eine Kugelfläche abgebildet wird, so daß Kreise in Kreise übergehen, oder auf eine Minimalfläche. Dafür, daß die Abbildung nur isotherm ist, ist notwendig und hinreichend, daß die linke Seite der fraglichen Gleichung ein \(o(r^4)\) \((r \to 0)\) ist für jeden Punkt \(u_0\), \(v_0\) aus \(D\), wo \(r\) der Radius eines Kreises \(C\) um \(u_0\), \(v_0\) ist.