On the representation of integral functions by general basic series. (Q2591095)

Verf. setzt seine früheren Untersuchungen (Proc. London math. Soc. (2) 43 (1937), 348-365; JFM 63.0257.*; vgl. für die Bezeichnungen dieses Referat) über die Darstellbarkeit analytischer Funktionen durch Basisreihen fort: 1) \textit{J. M. Whittaker} (Interpolatory function theory (1935) ; JFM 61.0331.*) hat eine hinreichende Bedingung für die Darstellbarkeit einer ganzen Funktion durch die zu einer gegebenen Basisfolge gehörige Basisreihe angegeben (s. u. 4)). Verf. erhält eine notwendige und hinreichende Bedingung. Für den Fall einer Basisfolge \(p_0(z),p_1(z),p_2(z),\ldots \), für die \[ \lim _{n\to\infty }\,N_n^{\frac {1}{n}}=1\tag{1} \] gilt, lautet dieselbe: Das Bestehen der Beziehung \[ \varlimsup _{n\to\infty }\,\Bigl[\Bigl(\frac {epq}{n}\Bigr)^{\frac {1}{p}}\, \{ \omega _n(r)\} ^{\frac {1}{n}}\Bigr] \leqq 1\quad \text{für \;jedes} \;\;r\geqq 0\tag{2} \] mit \[ \omega _n(r)= \sum _{i=0}^\infty |\pi _{ni}|\,M_i(r),\;\;\;M_i(r)= \operatornamewithlimits{Max}_{|z|=r}\,|p_i(z)|,\tag{3} \] ist notwendig und hinreichend dafür, daß sich jede ganze Funktion, deren Wachstum schwächer als vom Typus \(q\) der Ordnung \(p\) ist, durch die zu der Folge gehörige Basisreihe darstellen läßt. 2) Für Funktionen von endlichem Regularitätsradius wird unter Zugrundelegung einer (1) genügenden Basisfolge entsprechend bewiesen: Das Bestehen der Beziehung \[ \lim _{n\to\infty }\,\{ \omega _n(r)\} ^{\frac {1}{n}} =r \quad \text{für \;jedes} \;\;r\geqq 0\tag{4} \] ist notwendig und hinreichend dafür, daß sich jede um \(z=0\) reguläre Funktion in ihrem Regularitätskreis um \(z=0\) durch die zu der Folge gehörige Basisreihe darstellen läßt. (Vgl. \textit{B. Cannon}, a. a. O.) 3) Für Basisfolgen, die (1) nicht erfüllen, werden die unter 1) und 2) angegebenen Sätze falsch. Will man auch diesen Fall erfassen, so hat man in (2) und (4) je \(\omega _n(r)\) durch \[ F_n(r)= \operatornamewithlimits{Max}_{i,j\geqq 0}\;\operatornamewithlimits{Max}_{|z|=r} \,|\pi _{ni}\,p_i(z)+ \cdots +\pi _{nj}\,p_j(z)|\tag{5} \] zu ersetzen. An einigen Beispielen wird der Zusammenhang zwischen den so entstehenden allgemeinen Sätzen mit den Sätzen unter 1) und 2) genauer aufgezeigt. 4) Die eingangs genannte hinreichende Bedingung von Whittaker für die Darstellbarkeit einer ganzen Funktion durch die zu einer gegebenen Basisfolge gehörige Basisreihe stützt sich auf die von Whittaker eingeführten Begriffe der Ordnung \(\omega \) und des Typus \(\gamma \) einer Basisfolge: \[ \omega =\lim _{r\to\infty }\,\omega (r)\quad \text{mit}\quad \omega (r)=\varlimsup _{n\to\infty }\,\frac {\log \omega _n(r)}{n\,\log n},\tag{6} \] \[ \gamma =\lim _{r\to\infty }\,\gamma (r)\quad \text{mit}\quad \Bigl(\frac {\omega\gamma (r)}{e}\Bigr)^\omega =\varlimsup _{n\to\infty }\,\{ \omega _n(r)\} ^{\frac {1}{n}}\,n^{-\omega }.\tag{7} \] Die Bedingung besagt, daß die zu einer Basisfolge der Ordnung \(\omega \) und des Typus \(\gamma \) gehörige Basisreihe jede ganze Funktion darstellt, deren Wachstum schwächer als vom Typus \(\dfrac {1}{\gamma }\) der Ordnung \(\dfrac {1}{\omega }\) ist. Verf. zeigt, daß in dieser Bedingung die Schranken \(\dfrac {1}{\gamma }\), \(\dfrac {1}{\omega }\) für das Wachstum der ganzen Funktion bestmögliche sind, wenn man sich auf Basisfolgen beschränkt, die (1) genügen. Im allgemeinen Fall kommt man zu einer analogen Bedingung mit bestmöglichen Schranken, wenn man bei der Definition von Ordnung und Typus der Basisfolge von \(F_n(r)\) an Stelle von \(\omega _n(r)\) ausgeht.