On convergence properties of basic series. (Q2591096)

Die vorliegende Arbeit bringt einige Ergänzungen zu einer früheren Arbeit des Verf. (Proc. London math. Soc. (2) 43 (1937), 348-365; JFM 63.0257.*; vgl. für die Bezeichnungen das diesbezügliche Referat). Dort wurden für Basisreihen zwei in dem Referat mit (1) und (2) bezeichnete Sätze bewiesen, die das Bestehen der Beziehung \[ \lim _{n\to\infty }\,\frac {D_n}{n}=1\tag{1} \] voraussetzen. Wie dort weiter gezeigt wurde, gelten jedoch die Aussagen dieser Sätze auch noch in Fällen, in denen (1) nicht erfüllt ist. Dagegen zeigt Verf. jetzt, daß die beiden Sätze insofern ``bestmögliche'' sind, als es zu jeder Zahl \(m >1\) Basismengen gibt, für die \[ \varlimsup _{n\to\infty }\,\frac {D_n}{n}=m\tag{2} \] gilt, und für die die Aussagen der Sätze falsch sind. Zu schärferen Sätzen kann man jedoch gelangen, wenn man nicht an den Grad \(D_n\) des Basispolynoms höchsten Grades in der Darstellung von \(z^n\) durch die Basismenge, sondern an den Grad eines anderen Polynoms anknüpft. Es sei für festes \(r > 0\) \[ F_n(r)= \operatornamewithlimits{Max}_{i,j\geqq 0}\;\operatornamewithlimits{Max}_{|z|=r} \,|\pi _{ni}\,p_i(z)+ \cdots +\pi _{nj}\,p_j(z)|. \] Dasjenige Polynom \(\pi _{ni}\,p_i(z)+ \cdots +\pi _{nj}\,p_j(z)\), für das sich das Maximum ergibt, sei mit \(f_n(z)\) bezeichnet und laute nach Potenzen von \(z\) geordnet \[ f_n(z)=a_{n0}+a_{n1}z+\cdots +a_{nL_n}z^{L_n}\qquad (a_{nL_n}\neq 0). \] \(f_n(z)\) und sein Grad \(L_n\) hängen von \(r\) ab. Verf. zeigt nun, daß in den eingangs genannten Sätzen die Beziehung (1) durch \[ \lim _{n\to\infty }\,\frac {L_n}{n} =1\qquad (r>0)\tag{3} \] ersetzt werden kann, d. h. es gilt: 1) Stellt eine Basisreihe, die (3) erfüllt, in und auf einem festen Kreis um \(z=0\) von positivem Radius jede Funktion dar, die in und auf diesem Kreis regulär ist, so stellt sie jede solche Funktion in ihrem ganzen Regularitätskreis um \(z=0\) dar. 2) Stellt eine Basisreihe, die (3) erfüllt, jede um \(z=0\) reguläre Funktion, deren Regularitätsradius kleiner als eine Konstante \(\lambda \) ist, in ihrem Regularitätskreis um \(z=0\) dar, so stellt sie jede um \(z=0\) reguläre Funktion in ihrem Regularitätskreis dar. Es ist ohne weiteres klar, daß \(L_n\leqq D_n\) ist, so daß die neuen Sätze die früheren enthalten. An Beispielen wird gezeigt, daß sie tatsächlich Erweiterungen der früheren Sätze darstellen. Weitere Beispiele zeigen, daß für eine Basismenge, die (3) nicht erfüllt, die Aussagen der beiden Sätze zutreffen können oder auch nicht.