A general continued fraction expansion. (Q2591107)

Verf. betrachten Kettenbrüche der Form \[ 1+\frac {a_1x^{\alpha _1}\,|}{|\;\;1\;\;\;\;} + \frac {a_2x^{\alpha _2}\,|}{|\;\;1\;\;\;\;} +\cdots \qquad (\alpha _n= \text{ positiv ganz}), \] denen man umkehrbar eindeutig die Potenzreihen mit dem konstanten Glied 1 zuordnen kann (die Taylorreihen der sukzessiven Näherungsbrüche stimmen mit der Potenzreihe immer weiter überein). Es wird bewiesen: Ist die Potenzreihe eine rationale Funktion, so ist der Kettenbruch endlich und stellt die Funktion dar. Andernfalls konvergiert er dann und nur dann in einer Umgebung des Nullpunkts gleichmäßig gegen die durch die Potenzreihe dargestellte Funktion, wenn die Näherungsbrüche gleichmäßig beschränkt sind.