Ein Interpolationsproblem. (Q2591109)

Es ist eine Funktion \(w=f(z)\) mit folgenden Eigenschaften zu bestimmen: \noindent 1) \(f(z)\) ist regulär und beschränkt im Streifen \(|\mathfrak Fz|\leqq D\), \noindent 2) In den Punkten \(z=j\) soll \(f(z)\) gegebene Werte \(w_j\) annehmen; \(f(j)=w_j\), \(j=0,\pm 1,\ldots \), \noindent 3) \( N(f,D)= \int\limits _{-\infty }^{+\infty } |f(x+iD)|^2\,dx + \int\limits _{-\infty }^{+\infty } |f(x-iD)|^2\,dx \) soll ein Minimum sein. Zunächst wird die Aufgabe für den Fall endlich vieler vorgegebener Zahlen \(w_j\) gelöst. Wenn unendlich viele \(w_j\) vorgegeben sind, dann ist die Konvergenz der Reihe \(\sum _{-\infty }^{+\infty }|w_j|^2\) eine notwendige und hinreichende Lösbarkeitsbedingung. Die den gestellten Bedingungen genügende eindeutige Funktion ist von der Form \[ f(z)= \sum _{-\infty }^{+\infty } \frac {c_j}{\text{cosh\,} \dfrac {\pi }{4D}\,(z-j)},\qquad \sum _{-\infty }^{+\infty }|c_j|^2\quad \text{konvergent}. \] Die \(c_j\) berechnen sich aus einem unendlichen Gleichungssystem. Für \(f(j)=w_j\), \(j=0,\pm 1,\ldots,\pm n\), lautet die Extremalfunktion \( f_n(z)= \sum _{-n}^{+n} \frac {c_j^{(n)}} {\text{cosh\,}\dfrac {\pi }{4D}\,(z-j)}\), wobei die \(c_j^{(n)}\) aus einem endlichen Gleichungssystem zu berechnen sind. Es gilt weiter \( \lim _{n\to\infty }\, c_j^{(n)} = c_j\), \( \lim _{n\to\infty }\, N(f_n,D) = N(f,D)\).