Über die Ableitung von Polynomen. (Q2591113)

Ist \(f(z)\) ein Polynom \(n\)-ten Grades, so kennt man für gewisse Bereiche \(B\) Abschätzungen nach oben für den Quotienten \[ M(B)= \frac {\operatornamewithlimits{Max}_{z\in B}\,|f'(z)|} {\operatornamewithlimits{Max}_{z\in B}\,|f(z)|} \] (\textit{A. Markoff}, Abh. Akad. Petersburg 62 (1889), 1-24; \textit{M. Riesz}, Jber. Deutsehe Math.-Verein. 23 (1914), 354-368; \textit{G. Szegö}, Math. Z. 23 (1925), 45-61; F. d. M. 22, 283 (JFM 22.0283.*); 45, 405; 51, 97). Z. B. gilt, wenn \(B\) der Einheitskreis ist, \[ M(|z|\leqq 1)\leqq n, \] und wenn \(B\) die reelle Achse zwischen \(-1\) und \(+1\) ist, \[ M(-1\leqq z\leqq 1)\leqq n^2, \] Verf. stellt diesen Aussagen Abschätzungen nach unten gegenüber für den Fall, daß \(f(z)\) ein Polynom \(n\)-ten Grades ist, dessen sämtliche Nullstellen in \(B\) liegen, indem er beweist: \[ M(|z|\leqq 1)\geqq \frac {n}{2},\qquad M(-1\leqq z\leqq 1)>\frac {1}{6}\sqrt n. \] Die erste Ungleichung läßt sich nicht verbessern, wie das Beispiel \(f(z) = \Bigl(\dfrac {1+z}{2}\Bigr)^n\) zeigt. Die zweite ist hinsichtlich der Größenordnung genau. Die bestmöglichen Abschätzungen für diesen Fall sind, wie Verf. mitteilt, von \textit{J. Eröd} (vgl. die nachstehend besprochene Arbeit) gefunden worden. -- Als Anwendung ergibt sich: Wenn \(f (x)\) ein Polynom \(n\)-ten Grades ist, dessen sämtliche Nullstellen zwischen \(-1\) und \(+ 1\) liegen, und wenn \(x_m\) und \(x_{m+1}\) zwei aufeinander folgende Nullstellen sind, zwischen denen \(f (x)\) beständig konvex oder konkav bleibt, so muß \[ |x_{m+1}-x_m|\leqq \frac {\text{const}}{\sqrt n} \] sein.