On numerical bounds in Schottky's theorem. (Q2591138)

Gemäß dem Schottkyschen Satz besitzt eine in \(|z|<1\) reguläre, von \(+1\) und \(-1\) verschiedene Funktion \(f(z)\) für ihren Betrag \(|f(z)|\) in \(|z|\leqq r<1\) eine Schranke \(K (r, a)\), die nur von \(r\) und \(f(0) = a\) abhängt. Verf. beweist die asymptotische Formel \[ 8K(r, a) \sim \bigl(8\,|a|\bigr)^{\frac { 1+r}{ 1-r}},\;\;\;a\to\infty,\;\;\;r\;\text{fest}.\tag{1} \] Damit verbessert er ein Resultat von \textit{A. Ostrowski} (Comment. math. Helvetici 5 (1933), 65-87; JFM 59.0327.*) mit sechszehn an Stelle von acht. (1) ergibt sich unmittelbar aus den beiden Abschätzungen \[ 8 \cdot K(r, a) -10 < (8\,|a|+10)^{\frac { 1+r}{ 1-r}}\tag{2} \] und \[ 8 \cdot K(r, a) +10 > (8\,|a|-10)^{\frac { 1+r}{ 1-r}},\tag{3} \] sofern \(8\,|a|-10 > 0\). (2) und (3) verschärfen wesentlich numerische Schranken, die angegeben wurden von \textit{L. V. Ahlfors} (Trans. Amer. math. Soc. 43 (1938), 359-364; JFM 64.0315.*) und dem Ref. (Comment. math. Helvetici 7 (1935), 159-170; JFM 61.0355.*). Der Beweis dieser schönen Resultate gelingt Verf. mit Hilfe einer elliptischen Modulfunktion.