On subordinate functions. (Q2591140)

Die Funktion \(f (z)\) in \(|z| <1\) heißt ``subordinate to \(F (z)\)'', wenn \(f(z)\) in der Form darstellbar ist: \[ f(z) = F(\varPhi (z))\;\;\;\text{mit}\;\;\;\varPhi (0) = 0,\quad |\varPhi (z)|<1. \] \(F (z)\) heißt dann Majorante von \(f(z)\). Eine Reihe von Sätzen über beschränkte Funktionen, angewandt auf \(\varPhi (z)\), führen zu mehr oder minder interessanten Aussagen über den Wertevorrat von \(f(z)\) bei gegebenem \(F (z)\) (vgl. Verf., Schr. Königsberger gel. Ges., naturw. Kl. 8 (1931), Heft 1; Math. Z. 37 (1933), 210-236; JFM 59.0322.*, 323). In der vorliegenden Arbeit wird insbesondere ein Spezialfall der Majorantenrelation betrachtet, nämlich der, daß \(\varPhi (z)\) schlicht ist. Bekannte Ungleichungen über schlichte beschränkte Funktionen führen dann zu verschärften Analoga der früheren Ergebnisse. Für die Einzelheiten der meist ziemlich kompliziert zu formulierenden Resultate muß auf die Arbeit selbst verwiesen werden.