Koeffizientenbedingungen für schlicht abbildende meromorphe Funktionen. (Q2591166)

Verf. wendet auf das Koeffizientenproblem der schlichten Funktionen die zuerst von ihm in seiner Dissertation (Schr. math. Sem. Inst. angew. Math. Univ. Berlin 1 (1932), 95-140; F.d.M. \(58_{\text{I}}\), 361) entwickelte Methode an, nachdem eine Hilfsabbildung durch ein Polynom durchgeführt wurde (also die Metrik \(| P(w)dw |^2\), \(P\) Polynom, eingeführt wurde). Wenn \(f_1 (z) = z + \dfrac {a_{11}}{z} + \dfrac {a_{12}}{z^2}+ \cdots \) das Gebiet \(| z | > 1\) schlicht abbilden soll, ist folgendes die notwendige und hinreichende Bedingung: Man bestimme das Polynom \(P_\mu\) so, daß \(P_\mu (f_1 (z)) = f_\mu (z) = z^\mu + \dfrac {a_{\mu 1}}{z} + + \dfrac {a_{\mu 2}}{z^2} \cdots\) ist (Fabersche Polynome) \(\left( \sqrt {\dfrac {\nu }{\mu}}a_{\mu \nu } \text{ ist dann symmetrisch}\right)\); es soll für beliebiee komplexe \(z_\mu\), \(z_\nu\) \[ \left| \sum_{\mu, \nu = 1}^n \sqrt {\dfrac {\nu }{\mu}}a_{\mu \nu } z_\mu z_\nu \right| \leqq \sum_{\nu = 1} |z_\nu|^2 \] für alle \(n\) sein. Ähnliche Bedingungen ergeben sich für die schlichte Abbildung mehrfach zusammenhängender Gebiete. Diese Ungleichungen ergeben sich mit der genannten Methode; schwieriger ist zum Schluß der Nachweis, daß diese Bedingungen in ihrer Gesamtheit auch für die Schlichtheit von \(f_1 (z)\) hinreichend sind.