On a theorem of Bieberbach-Eilenberg. (Q2591171)

Verf. beschäftigt sich mit der Klasse der in \(| z | < 1\) regulären Funktionen \(f (z) = a_1 z + a_2z^2 + \cdots\), für die stets \(f(z_1)\cdot f(z_2) \not = 1\) (\(|z_1| < 1\), \(|z_2|< 1\)). Unter der Voraussetzung, daß \(f(z)\) schlicht ist, hat \textit{Bieberbach} bewiesen: \(|a_1 | < 1\) (Math. Ann., Leipzig, 77 (1916), 153-172; S. B. Preuß. Akad. Wiss. Berlin, 1916, 940-955; F. d. M. 46; 549, 552); \textit{Eilenberg} hat denselben Satz ohne die Schlichtheitsvoraussetzung bewiesen (Fundam. Math., Warszawa, 25 (1935), 267-272; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 625). Verf. beweist zunächst diese beiden Sätze; es scheint ihm entgangen zu sein, daß sich sein Beweis für den ersten Fall bei \textit{Bieberbach} an der zweiten der oben zitierten Stellen findet. -- Bei festem \(|a_1 |\) kann man eine gewisse Jordankurve angeben, deren Äußeres sicher keine Funktionswerte enthält. -- Ferner gilt die scharfe Ungleichung \(| a_2 | \leqq 1\), und die an sind bei schlichtem \(f (z)\) gleichmäßig beschränkt, im allgemeinen Fall höchstens von der Ordnung log \((1 + n)\). -- Endlich macht Verf. darauf aufmerksam, daß in einem Satz des Ref. über diese Funktionsklasse die Voraussetzung der Schlichtheit gleichfalls entbehrt werden kann (\textit{Grunsky}, Math. Ann., Berlin, 108 (1933), 190-196; F. d.M. \(59_{\text{I}}\), 352).