Conformal mapping of multiply connected domains. (Q2591177)

Wie schon Douglas in seinen grundlegenden Arbeiten zum Plateauschen Problem hervorgehoben hat, enthält seine Lösung zugleich den Beweis gewisser Existenzsätze der konformen Abbildung (\textit{J. Doughs}, Trans. Amer. math. Soc. 33 (1931), 263-321; Ann. Math., Princeton, (2) 40 (1939), 205-298; F. d. M. \(57_{\text{II}}\), 1542; 65, Abschnitt D 13). In einer Arbeit des Verf., in der der Douglassche Grundgedanke eine etwas andere Wendung gefunden hat, wurde in diesem Rahmen der Satz bewiesen, daß sich jeder n-fach zusammenhängende schlichte Bereich auf einen von \(n\) Kreisen berandeten abbilden läßt (Ann. Math., Princeton, (2) 38 (1937), 679-724; F. d. M. \(63_{\text{II}}\), 1067). In engem Anschluß an diese Arbeit beweist Verf. hier: Jedes \(n\)-fach zusammenhängende Gebiet \(G\) läßt sich konform abbilden auf eine Riemannsche Fläche, die aus \(n\) Exemplaren des Einheitskreises und einer willkürlichen Anzahl \(p\) von Vollebenen durch passende Verheftungen aufgebaut ist. Dabei lassen sich die Bilder je eines Punktes auf jeder Randkomponente sowie die Verzweigungspunkte in den Vollebenen und ein weiterer Verzweigungspunkt willkürlich vorschreiben. Der Satz enthält als Spezialfall \(p =0\) einen von Riemann behaupteten, von Bieberbach und vom Ref. bewiesenen Satz (\textit{L. Bieberbach}, S.-B. Berliner math. Ges. 24 (1925), 6-9; \textit{H. Grunsky}, S.-B. Preuß. Akad. Wiss., Physik.-math. Kl. 1937, 40-46; F. d. M. 51, 273 (JFM 51.0273.*); \(63_{\text{I}}\), 300).