On the coefficients of certain modular forms belonging to subgroups of the modular group. (Q2591198)

Es sei \(\gamma\) eine Untergruppe von endlichem Index in der Modulgruppe und \(F (\tau)\) eine zugehörige Modulform, welche in der Halbebene \(\Im (\tau) > 0\) analytisch ist. In den (endlich vielen) parabolischen Spitzen des Fundamentalbereichs soll \(F(\tau)\) nur polare Singularitäten besitzen (in den ortsuniformisierenden Variablen). Die Fourierentwicklung von \(F(\tau)\) ist jetzt durch die Hauptteile in den parabolischen Spitzen eindeutig bestimmt. Es seien \(P_g(g = 1, 2, \dots, s)\) die parabolischen Spitzen. In den ortsuniformisierenden Variablen \[ x = \text{ exp } \left\{ - \frac {2\pi i}{c_g(\tau - P_g)} \right\} \] gelten dann Entwicklungen \[ F(\tau) = \{- i(\tau - P_g)\}^r x^{\alpha_g} \sum_m a^{(g)}_m x^m, \] wo \(m\) nur endlich viele negative ganze Zahlen durchläuft. Verf. gibt eine Formel, welche die \(a_m^{(g)}\) mit \(m > 0\) ausdrückt durch die \(a_m^{(g)}\) mit \(m < 0\). Eine solche Formel (sogar für automorphe Formen) wurde aber schon früher von \textit{H. Petersson} gegeben (Acta math., Djursholm, 58 (1932), 169-215; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 392).