Bestimmung des Anwachsens von ganzen Modulformen bei Annäherung an die singuläre Linie und der genauen Größenordnung von einigen summatorischen Funktionen ihrer Koeffizienten. (Q2591200)

Es sei \[ f(\tau ) = \sum_{n=0}^\infty a_n e^{2 \pi i (n + \eta) \tfrac \tau{N}} \qquad (0 < \eta \leqq 1; \, \tau = x+ iy) \] die Fourierentwicklung einer ganzen Modulform der Dimension \(- r\), die zu einer Untergruppe von endlichem Index der Modulgruppe gehört, in der Halbebene \(y > 0\) regulär ist und in allen parabolischen Spitzen des Fundamentalbereichs verschwindet. Nach \textit{E. Hecke} (Abh. math. Sem. Hansische Univ. 5 (1927), 199-224; F. d. M. 53, 345 (JFM 53.0345.*)) gilt für \( y \to 0\): \[ f(x+iy) = O\left( y^{-\tfrac r2 } \right) \] gleichmäßig für alle \(x\). Verf. zeigt, daß diese Abschätzung nicht verschärft werden kann. Es ist nämlich \[ |f(x + iy)| \geqq Ay^{- \tfrac r2} \] für alle hinreichend kleinen \(y\), falls \(x\) auf einem gewissen Intervallsystem \(J(y)\) gewählt wird; \(A\) hängt nur von \(f\) ab. Die Gesamtlänge des Intervallsystems \(J(y) \) ist sogar so groß, daß \[ \frac 1N \int\limits_0^N |f (x + iy)|^2 \, dy \] nach oben \textit{und unten} durch je einen Ausdruck \(Ay^{-r}\) mit positivem konstanten \(A\) abgeschätzt werden kann. Hieraus ergibt sich, daß \[ \sum_{n=0}^x |a_n|^2 \] für \(x \to \infty\) nach oben und unten durch je einen Ausdruck \(Ax^r\) mit konstantem positiven \(A\) abgeschätzt werden kann. Weiter gibt Verf. noch Sätze über das asymptotische Verhalten für \(x \to \infty\) von \[ \sum_{n=0}^x \left| \sum_{k=0}^n a_k e^{2\pi i (k + \eta)\tfrac tN} \right|^2 \qquad (t \text{ reell }) \] und beweist als Anwendung die Konvergenz der Dirichletschen Reihe \[ \sum_{n=0}^\infty a_n (n+1)^{-s} \] für \(\Re (s) > \dfrac r2 - \dfrac 1 {18}\). Schließlich gelten seine Sätze auch noch für eine allgemeinere Klasse von Funktionen als die oben erwähnten Modulformen.