Contributions to the theory of Ramanujan's function \(\tau(n)\) and similar arithmetical functions. I: The zeros of the function \(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\tau(n)}{n^s}\) on the line \(\Re s = \dfrac{13}{2}\) \ II: The order of the Fourier coefficients of integral modular forms. (Q2591201)

\textbf{I:} Es sei \(F (\tau ) = \sum\limits_{n=1}^\infty a(n) e^{2\pi i n \tau}\) eine (nicht identisch verschwindende) ganze Spitzenform der Modulgruppe und von der (negativen geraden) Dimension \(- k\). Ihre Fourier-Koeffizienten genügen den Relationen \[ a (m) a (n) = a (mn) \quad \text{ bei } \quad (m, n) = 1, \] \[ a (p^\lambda ) = a(p)a (p^{\lambda -1}) - p^{k-1} a (p^{\lambda - 2}) \,\, (p \text{ Primzahl}, \, \lambda \geqq 2). \] Die \(F (\tau )\) sind die Eigenfunktionen der sämtlichen Heckeschen Operatoren \(T_n\), \( n \geqq 1\). Die Dirichlet-Reihe \(D (s) = \sum\limits_\infty^{n=1} a(n) n^{-s}\) ist für \(\Re s > \dfrac {k+1}2\) absolut konvergent, genügt der Funktionalgleichung \[ R (s) = (2 \pi )^{-s} \varGamma (s) D(s)= (-1)^{\tfrac k2}R(k - s) \] und gestattet die Eulersche Produktentwicklung \[ D (s) = \prod_{p} \left( 1 - \frac {a(p)}{p^s} + \frac {p^{k-1}}{p^{2s}}\right)^{-1}. \] Daher spielt der Streifen \(\dfrac {k-1}2 \leqq \Re s \leqq \dfrac {k+1}2\) die Rolle des kritischen Streifens der Riemannschen \(\zeta\)-Funktion. Verf. beweist, daß \(D (s)\) für \(\Re s = \dfrac {k+1}2\) nicht verschwindet. (Das Nichtverschwinden für \(\Re s > \dfrac {k+1}2\) folgt aus der absoluten Konvergenz des Eulerprodukts.) Der Beweis beruht, wie bei dem entsprechenden Satz über die Riemannsche \(\zeta\)-Funktion, auf der Anwendung einer geeignet gewählten trigonometrischen Ungleichung, ist aber erheblich komplizierter als dort. \textbf{II:} Es sei \(H (\tau)\) eine ganze Spitzenform der vollen Modulgruppe \(\varGamma\) von der (negativen geraden) Dimension \(- k\), \[ H (\tau ) = \sum_{n=1}^\infty a_n e^{2\pi i n \tau }, \quad f (s) = \sum_{n=1}^\infty | a_n|^2 n^{-s}. \] Die Dirichletreihe \(f(s)\) konvergiert für \(\sigma = \Re s >\) \, \(k\) absolut. Man hat mit \(\tau = x + iy \) (\(x\) reell, \(y > 0\)): \[ \int\limits_{-\tfrac 12}^{+\tfrac 12} | H(x + iy) |^2 \, dx = \sum_{n=1}^\infty |a_n|^2 e^{-4\pi n y} \] und daher wogen \((4\pi )^{-s} \varGamma (s) n^{-s} = \int\limits_0^\infty e^{-4\pi n y}y^{s-1}\, dy\): \[ (4\pi )^{-s} \varGamma (s) f(s) = \iint\limits_{\mathfrak B} y^{s-1} |H(\tau)|^2 \, dx dy = \iint\limits_{\mathfrak B} y^{s-k+1} |H(\tau)|^2 y^k \, \frac {dx dy}{y^2}, \] wo \(\mathfrak B\) den Vertikalhalbstreifen \(| x | \leqq \frac 12\), \( y > 0\) darstellt. Nun sind einerseits \(|H(\tau)|^2 y^k\) und \(\dfrac {dx dy}{y^2}\) bei Modulsubstitutionen invariant, und \(y^{s-k+1}\) nimmt bei \ \(S =\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) aus \(\varGamma\) den Faktor \(| c\tau + d |^{-2s + 2k -2}\) auf; andererseits überdecken die \(SD\), wenn \(D\) einen Fundamentalbereich von \(\varGamma\) bezeichnet und \(S\) ein volles System von Modulsubstitutionen mit verschiedenen zweiten Zeilen \(\{c, d\}\) durchläuft, den Streifen \(\mathfrak B\) mod \(1\) genau zweimal einfach und lückenlos. Daraus folgt \[ (4\pi )^{-s} \varGamma (s) f(s) = \iint\limits_{\mathfrak B} y^{s-k+1} F(\tau) |H(\tau)|^2 \,y^k \, \frac {dx dy}{y^2} \] mit \[ F (\tau) = \sum_{(c,d) = 1} |c\tau + d|^{-2s+2k -2}. \] Hier läßt sich die Summationsbedingung \((c, d) =1\) durch Multiplikation mit der Riemannschen Funktion \(\zeta (2s - 2 k +2)\) beseitigen. Die entstehende Summe wird unter erneuter Heranziehung des Eulerschen \(\varGamma\)-Integrals durch \[ K(w) = K(w, \tau) =\sum_{_{\substack{ m,\, n = -\infty \\ m, \, n \not = 0, \, 0 }}}^{+\infty} e^{- \tfrac {\pi w}{y} |m\tau + n |^2} \] ausgedrückt. Das Verhalten dieser Funktion liefert die folgenden Ergebnisse: \(\qquad f(s)\) ist als meromorphe Funktion von \(s\) in die ganze \(s\)-Ebene fortsetzbar. \[ \varphi (s) = (2 \pi )^{-2s} \varGamma (s) \varGamma (s - k + 1) \zeta (2s - 2k+2) f (s) \] genügt der Funktionalgleichung \(\varphi (s) = \varphi (2k -1 -s)\) und ist bis auf die einfachen Pole \(s = k\), \(s = k - 1\) regulär. \, \(f(s) \) hat bei \(s = k\) einen einfachen Pol mit dem Residuum \[ k\alpha = 12 \frac {(4\pi)^{k-1}}{\varGamma (k)} \iint\limits_D |H (\tau)|^2 y^k \frac {dxdy}{y^2}. \] Die genauere Diskussion der oben angedeuteten Integraldarstellung von \((4\pi)^{-s} \varGamma (s) f(s)\) führt mit Benutzung eines Landauschen Satzes zu der Aussage \[ \sum_{n \leqq x} |a_n|^2 = \alpha x^k + O (x^{k - \frac 25}), \] so daß insbesondere { \(a_n = O\left( x^{\tfrac k2 - \tfrac 15}\right)\) gegenüber \( O\left( x^{\tfrac k2 - \tfrac 16 +\varepsilon}\right)\) als schärfste bisher bekannte Abschätzung folgt. Die Verallgemeinerung der ganzen Untersuchung auf Modulformen höherer Stufe liefert analoge Ergebnisse.}