Differenzengleichungen und bestimmte Integrale. (Q2591225)

Das Buch bringt in gedrängter Form eine Übersicht über eine Reihe von Problemen, die mit der Theorie der linearen Differenzengleichungen erster Ordnung zusammenhängen. Vor allem werden die wichtigsten der aus solchen Gleichungen entspringenden speziellen Funktionen und ihre analytischen Eigenschaften und Darstellungen betrachtet. Die gedrängte Ausdrucksweise und straffe Gedankenführung bringt es mit sich, daß der Leser zum vollen Verständnis des Buches mit den Dingen schon etwas vertraut sein muß, obwohl eigentlich fast alles von Grund auf erklärt wird, zumal Verf. angesichts der auf knappem Raum zusammengedrängten Stoffmenge auf Beispiele und Anwendungen fast völlig verzichten mußte. Im einzelnen wird folgendes behandelt: Kap. 1: Funktionentheoretische Hilfsbegriffe, Summierbarkeit mit einigen einfachen Kriterien. -- Kap. 2: Theorie der periodischen Funktionen, die als die in einem achsenparallelen Streifen vorhandenen analytischen Lösungen von \(F (z + 1) - F (z) = 0\) eingeführt werden. Es wird gezeigt, daß es sich dabei im wesentlichen um eine Theorie der Exponentialfunktion und der elementaren trigonometrischen Funktionen handelt. Gewisse Reihenentwicklungen führen auf die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen. -Kap. 3: Summation der rationalen Funktionen. Sie wird mittels der Bernoullischen Polynome und der Gaußschen \(\Psi\)-Funktion geleistet, deren wichtigste Eigenschaften abgeleitet werden. Verf. legt dabei, wie auch an andern Stellen des Buches, weniger auf die formalen als auf die analytischen Eigenschaften und Zusammenhänge Wert. Ferner werden die Euler-MacLaurinsche Summenformel und die Eulersche Konstante behandelt. -- Kap. 4: Theorie der Gammafunktion. Ausgangspunkt ist ihre homogene Differenzengleichung. Es folgen Ergänzungs- und Multiplikationssatz, Stirlingsche Formel, Integral- und andere Darstellungen, sodann eine Übersicht über den Funktionsverlauf. -- Kap. 5: Unvollständige Gammafunktionen. Ausgangspunkt ist wieder eine Differenzengleichung, nämlich \(\lambda F(z+ 1) - F (z) = \dfrac {-1}{\varGamma (z+1)}\), wobei \(z\) und \(\lambda\) als Veränderliche angesehen werden. Daraus ergeben sich die verschiedenen Darstellungen der Funktionen durch Reihen, bestimmte und unbestimmte Integrale sowie die Zusammenhänge mit dem Integrallogarithmus, dem Fehlerintegral, den Fresnelschen Integralen usw. -- Es sei noch erwähnt, daß Verf. bei der Herleitung der erwähnten Dinge nicht nur das Einzelergebnis im Auge hat, sondern immer die Methode hervorzuheben bestrebt ist und deshalb zuweilen den schwierigeren Weg wegen der größeren methodischen Wichtigkeit bevorzugt.