Über die algebraischen Eigenschaften der Integrale von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. (Q2591253)

Zu einem zum Polynomringe \(\mathfrak P_m = K(x_1, \dots, x_m)\) gehörenden Polynomideal \(\mathfrak a\) (mit den Elementen \(p_\sigma (x_j)\), \(\sigma =1, \dots, s\)) definierte \textit{Macaulay} (Tracts Computors Cambridge, 19 (1916); Proc. Cambridge philos. Soc, 31 (1934), 27-46; F. d. M. 46, 167 (JFM 46.0167.*); \(60_{\text{I}}\), 96) ein inverses System \(\mathfrak U^{-s}\) von Funktionen und bewies die reziproke Beziehung: Der Summe (dem Durchschnitt) zweier Polynomideale \(\mathfrak a\), \(\mathfrak b\) entspricht als inverses System der Durchschnitt (die Summe) ihrer Inversen Systeme \(\mathfrak U^{-1}, \mathfrak B^{-1}\). Verf. ersetzt die Unbestimmten \(x_1, \dots, x_m\) durch die Operatoren \(\dfrac {\partial }{\partial x_j}\) und erhält den Differentialring \(\mathfrak D_m = K\left(\dfrac {\partial }{\partial x_1},\dots, \dfrac {\partial }{\partial x_m} \right)\) dessen Elemente die Differentialoperatoren \[ p \left( \dfrac {\partial }{\partial x_j} \right) = \sum_i \cdot \dfrac {\partial^{i_1 + \cdots + i_m} }{\partial x_1^{i_1} \cdots \partial x_m^{i_m}} \] sind (der Punkt bedeutet konstante Koeffizienten in \(K\)). Es wird dann bewiesen, daß das Integralsystem \(c_1 u_1 (x_j) + \cdots + c_r u_r (x_j)\), welches dem System der ein Ideal \(\mathfrak a\) bildenden Differentialgleichungen \(p_\sigma \left( \dfrac {\partial }{\partial x_j} \right)u(x_j) = 0\) genügt, bis auf die Schreibweise mit dem Macaulayschen inversen System \(\mathfrak U^{-1}\) übereinstimmt. Das Integralsystem des Durchschnitts (der Summe) zweier Ideale ist die Summe (der Durchschnitt) der zu den beiden Idealen gehörenden Integralsysteme. Sind \(u_1 (x_j), \dots, u_n (x_j)\) linear unabhängige analytische Funktionen der Variablen \(x_1, \dots, x_m\), für welche gewisse Funktionalgleichungen gelten, so genügen sie einem System von \(s\) linearen homogenen Differentialgleichungen \(p_\sigma \left( \dfrac {\partial }{\partial x_\alpha} \right) u (x_j) = 0\), \(\sigma = 1, \dots, s\), welche ein nulldimensionales Ideal \(\mathfrak a\) des Grades \(n\) in \(\mathfrak D_m\) erzeugen. Von diesen Funktionen entwickelt Verf., indem er ein hyperkomplexes System \( \mathfrak o\) definiert, zwei Formeln, welche eine Verallgemeinerung der Moivreschen Formeln \((\cos\, x + i \sin\, x) (\cos\, y + i \sin\, y) = \cos\, (x + y) + i \sin \, (x + y)\) bilden. Das System \(\mathfrak 0\) ist isomorph dem Restklassenring \(\dfrac {\mathfrak D_m}{\mathfrak a}\) und kann mit diesem identifiziert werden. Um das Integralsystem eines Ideals \(\mathfrak a \subset \mathfrak D_m\) zu bestimmen, haben wir die Nullstellen \((\xi_1, \dots, \xi_m)\) des entsprechenden Polynomideals zu berechnen; dann ist \(u(x_j)=e^{\xi_1 x_ 1 + \cdots + \xi_m x_m}\) ein Integral des bezüglichen Differentialideals. Verf. entwickelt dann die Beziehungen, welche die Integrale der Ideale \(\mathfrak a\), \(\overline{\mathfrak a}\) binden, wenn das Ideal \(\mathfrak a\) (der Differentialring \(\mathfrak D_m\)) durch eine gewisse Transformation in das Ideal \(\overline{\mathfrak a}\) (in den Ring \(\overline{\mathfrak D}_m\)) übergeht. Zum Schluß werden die möglichen Verallgemeinerungen der vorigen Untersuchung angedeutet.