Über lineare Differentialgleichungen in Ringen und ihre Anwendungen auf lineare Integrodifferentialgleichungen. III. (Q2591257)

Verf. überträgt die in den vorangehenden Mitteilungen (I, II, Compositio math., Groningen, 5 (1938), 403-429; 6 (1938), 258-284; F. d. M. \(64_{\text{I}}\), 424) enthaltenen Sätze über homogene (und nichthomogene) Differentialgleichungen \(y^\prime = ya (+ b)\) in (nicht notwendig kommutativen) Ringen \(R\) (einfachster Fall: Matrizenringe mit reellen oder komplexen Elementen) auf Systeme \(y^\prime_\varkappa = \sum\limits_{\lambda=1}^r y_\lambda a_{\lambda\varkappa} (+b_\varkappa)\), \(\varkappa = 1, 2, \dots, r\) oder also, in Matrizenschreibweise (\([a] = (a_{\lambda\varkappa})\), \( [y]^\prime = [y]\cdot [a]\) (\(a_{\lambda\varkappa}, b_{\varkappa}\in R\)); die Axiome in \(R\) bleiben die alten, abgesehen von der folgenden Verschärfung der für die Durchführbarkeit der schrittweisen Näherungen damals geforderten Ungleichungen (a. a. O.) \(| u_n |\leqq A_n |a_1| \dots |a_n|\), wenn schrittweise \(u_0 = 1\); \( u_n= \int (a_nu_{n-1})\) erklärt wird; entsprechend für \(v_n = \int (v_{n-1}a_n)\). Dies überträgt sich dann leicht auf den Ring \([R]\) der \([a]\) selbst, wenn man dort den Betrag durch \(| [a]| = \underset{1 \leqq \lambda, \varkappa \leqq r} {\text{ Max }} |a_{\lambda\varkappa}|\) definiert. Jetzt gelten für \([R]\) die alten Axiome und damit die Theorie. -- Den skalaren Integrodifferentialgleichungen, die in I durch Wahl eines gewissen Rings ``kontinuisierter Matrizen'' entstanden, entsprechen jetzt Systeme der Form \(y^\prime_{00\varkappa } = \sum\limits_{\lambda = 1}^r \sigma_2 (y_{00\lambda} | a_{\lambda\varkappa}) (+ b_{00\varkappa});\) der Operator \(\sigma_2 \) hat dabei die alte Bedeutung, und als Lösungen erhält man, ähnlich wie früher, die Systeme der ersten Komponenten (Faktoren von \(\varepsilon_{00}\),) in den Lösungen von \[ (y)^\prime_\varkappa = \sum_{\lambda =1}^n (y)_\lambda (a)_{\lambda\varkappa} (+ b_{00\varkappa} \varepsilon_{00}). \]