On some orthogonal systems of functions. (Q2591286)

Für Entwicklungen \(\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x) \int\limits_0^\pi f (t) u_n(t)\, dt\) einer willkürlichen Funktion \(f (x)\) nach den (normierten) Eigenfunktionen \(u_n(x)\) des allgemeinen Greenschen Randwertproblems \[ u^{\prime \prime}(x) + [Q(x) + \lambda ]u(x) = 0 \] \[ \alpha_1 u (0) + \alpha_2 u^\prime (0) + \alpha_3 u (\pi) + \alpha_4 u^\prime (\pi ) = 0 \] \[ \beta _1 u (0) + \beta_2 u^\prime (0) + \beta_3 u (\pi) + \beta_4 u^\prime (\pi ) = 0 \] \[ \alpha_1 \beta_2 - \alpha_2 \beta_1 = \alpha_3 \beta_4 - \alpha_4 \beta_3 \] (die letzte Bedingung ist bei stetigem \(Q (x)\) notwendig und hinreichend dafür, daß die Eigenfunktionen ein vollständiges Orthogonalsystem bilden) beweist Verf. Sätze, die dem Haarschen Äquikonvergenzsatz, dem Satz von Du Bois-Reymond über die Fouriersche Darstellbarkeit der Koeffizienten einer Entwicklung \(\sum\limits_{n=1}^\infty c_n u_n (x)\) sowie einem Satz von \textit{A. Zygmund} (Studia Math., Lwów, 2 (1930), 97-170; F. d. M. \(56_{\text{II}}\), 945) über Cantorsche Ausnahmemengen im Rahmen des Sturm-Liouvilleschen Orthogonalsystems (das durch \(\alpha_1 \beta_2 - \alpha_2 \beta_1 = 0\) gekennzeichnet ist) entsprechen. Die verwendete Methode lehnt sich an jene von \textit{E. W. Hobson} (Proc. London math. Soc. (2) 6 (1908), 349-395; F. d. M. 39, 476 (JFM 39.0476.*)) im Falle des Sturm-Liouvilleschen Problems an, benützt also als wesentliches Hilfsmittel die asymptotischen Darstellungen der Eigenfunktionen für großes \(n\). Da diese im allgemeinen Greenschen Fall bisher noch nicht aufgestellt worden sind, ist ein Großteil der Arbeit ihrer Gewinnung gewidmet.