Genäherte Berechnung von Eigenwerten. I, II. (Q2591295)

Verf. gibt eine umfassende Übersicht über die wichtigsten Methoden zur genäherten Bestimmung von Eigenwerten. Er behandelt Eigenwertprobleme der Form \(L[\varphi] + \lambda M[\varphi] = 0\), und insbesondere solche der spezielleren Form \(L[\varphi] + \lambda p \varphi = 0\), wo \(L[\varphi]\) und \(M[\varphi]\) in \(\varphi\) lineare gewöhnliche oder partielle Differentialausdrücke sind. Dabei macht er die Annahmen, daß die Greensche Funktion des Problemes positiv definit und symmetrisch ist, und daß es sich um selbstadjungierte Randwertprobleme mit einer abzählbaren Folge diskreter positiver Eigenwerte handelt. Zunächst leitet Verf. das Rayleighsche Prinzip für die speziellere Form der Gleichung ab. Durch die Iteration \[ L[F_{n+1}] = -\lambda pF_n \] gewinnt man eine Folge von Funktionen \(F_n\), die außer \(F_0\) die Randbedingungen erfüllen müssen, und damit für den \textit{ersten} Eigenwert \(\lambda_1\) Näherungswerte \[ \mu_n = \frac{a_{n-1}}{a_n}, \] wo \(a_{2n} = \int pF_n^2 \, ds > 0\) und \(a_{2n+1} = \int F_{n+1} L[F_{n+1}]\,ds > 0\) ist. Es gilt \[ \mu_1 \geqq \mu_2 \geqq \mu_3 \cdots \geqq \lambda_1. \] Insbesondere der Wert \(\mu_2\) wird auch weiterhin wiederholt benutzt. Unter Verwendung einer unteren Schranke für den zweiten Eigenwert wird dann nach Temple auch eine Formel für die untere Schranke von \(\lambda_1\) gewonnen. Im zweiten Abschnitt werden die Ritzschen Gleichungen abgeleitet, sowohl in der ursprünglichen wie in der sogenannten Galerkinschen Form, und gezeigt, welchen verschiedenen Bedingungen in beiden Fällen die Koordinatenfunktionen \(\psi_j\) zu genügen haben. Weiter wird eine andere Herleitung der Galerkinschen Gleichungen dadurch gewonnen, daß man \(F_1 = \sum\limits_{j=1}^n c_j \psi_j(s)\) in \(\mu_2\) einsetzt und \(\mu_2\) als Funktion der \(c_j\) zum Minimum macht. Ähnlich kann man auch die Ritzschen Gleichungen in der ersten Fassung herleiten. Die Grammelschen Gleichungen erhält man ebenso aus \(\mu_1\). Die Grammelschen Näherungen werden sodann mit denen verglichen, die sich aus dem Ritzschen Verfahren ergeben. Ferner wird kurz darauf hingewiesen, daß alle Ritzschen Näherungswerte stets obere Schranken für die entsprechenden Eigenwerte sind, und schließlich werden, allerdings meist sehr rohe, untere Schranken unter Benutzung der Werte \(Q_1 = \sum\limits_{j=1}^\infty \dfrac{1}{\lambda_j}\) und \(Q_2 = \sum\limits_{j=1}^\infty \dfrac{1}{\lambda_j^2}\) gewonnen. Im dritten Abschnitt werden die Einschließungssätze von Temple und von Weinstein und die Formeln von Trefftz-Newing für die unteren Schranken des ersten Eigenwertes abgeleitet. Im nächsten werden die Differenzenverfahren erster und höherer Annäherung sowohl für gewöhnliche als auch für partielle Differentialgleichungen entwickelt und die wichtigsten finiten Ausdrücke, die man als Näherung für die Differentialquotienten benutzen kann, in Tafeln zusammengestellt. Weiter werden die Verfahren der Störungsrechnung abgeleitet, es wird gezeigt, wie sich die Formeln in Spezialfällen vereinfachen, und auf den Zusammenhang der sich hier ergebenden Formeln mit dem Rayleighschen Prinzip eingegangen. Der sechste Abschnitt bringt dann eine Reihe anderer Methoden, wie die des Vergleichs mit exakt lösbaren Problemen, und die Möglichkeit, so unter Benutzung der Sätze von Courant, die Eigenwerte zwischen zwei Schranken einzuschließen, weiter Methoden, die von der Integralgleichung des Problems ausgehen, und solche die asymptotische Formeln für die Eigenwerte benutzen; dann die Formeln von Dunkerley und die von Southwell für die untere Schranke des ersten Eigenwertes zusammengesetzter Systeme, die Methode vom Minimum der Fehlerquadrate und die Möglichkeit, Näherungen für die Eigenwerte durch Reihenansätze zu bekommen. Im letzten Abschnitt endlich werden die verschiedenen Methoden auf sieben verschiedene Eigenwertprobleme angewendet, von denen vier auf gewöhnliche, die anderen drei auf partielle Differentialgleichungen führen, und es wird gezeigt, was sich mit den einzelnen Formeln erreichen läßt.