Über Systeme von linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. (Q2591310)

Wenn eine Funktion \(f(x_1, \dots, x_n)\) dem System \[ X_if \equiv \sum_{k=1}^n \beta_{ik} (x_1, \dots, x_n) \frac {\partial f}{\partial x_k} = 0 \qquad (i=1,2,\dots, r) \tag{1} \] genügt, wo die \(\beta_{ik}\) stetige partielle Ableitungen erster Ordnung haben, so erfüllt sie bekanntlich auch die weiteren Gleichungen \[ (X_i X_j - X_j X_i) f \equiv \sum_{k=1}^n (X_i \beta_{jk} - X_j \beta_{ik}) \frac {\partial f}{\partial x_k} = 0, \tag{2} \] und das System (1) heißt ``vollständig'', wenn die Gleichungen (2) Linearkombinationen der \(r\) Gleichungen (1) sind. Der übliche Weg zur Gewinnung von (2) aus (1) setzt jedoch voraus, daß \(f\) stetige partielle Ableitungen zweiter Ordnung hat. Wegen dieses Übelstandes vermeidet Verf. die Gleichungen (2) und führt in folgender Weise einen neuen Vollständigkeitsbegriff ein. Die einzelne Gleichung (1) hängt bekanntlich zusammen mit dem System gewöhnlicher Differentialgleichungen \[ \frac {dx_k}{dt}= \beta_{ik} (x_1, \dots, x_n)\qquad (k=1,2,\dots,n). \tag{3} \] Die Lösung von (3) hat die Form \[ x_k = g_{ik} (x^0_1, \dots, x_n^0, t) \quad \text{ wobei } \quad g_{ik} (x^0_1, \dots, x_n^0, 0) = x_k^0, \tag{4} \] und die Umkehrung von (4) lautet \[ x_k^0 = g_{ik} (x_1, \dots, x_n, -t). \tag{5} \] Der Zusammenhang von (1) bei festem \(i\) mit (3) besteht darin, daß die Funktion \(f\) der Funktionalgleichung \[ f(x_1, \dots, x_n) = f(g_{i1} (x_1, \dots, x_n,t), \dots, g_{in} (x_1, \dots, x_n,t)) \tag{6} \] genügt, aus der (1) durch Differentiation nach \(t\) hervorgeht. Betrachtet man nun die Gleichung (1) mit \(j\) an Stelle von \(i\), so genügt eine Lösung der entsprechenden Funktionalgleichung \[ f(x_1, \dots, x_n) = f (g_{j1} (x_1, \dots, x_n,\tau), \dots, g_{jn} (x_1, \dots, x_n,\tau)), \tag{7} \] und folglich genügt eine Lösung des \textit{Systems} (1) auch der durch Zusammensetzung von (6) und (7) entstehenden Funktionalgleichung \[ f (x_1, \dots, x_n) = f (g_{j1} (g_{i1}, \dots, g_{in},\tau), \dots, g_{jn} (g_{i1}, \dots, g_{in},\tau)), \tag{8} \] wobei \(g_{il} = g_{il} (x_1, \dots, x_n,t)\) ist. Wie nun die Gleichung (6) durch Differentiation nach \(t\) zu (1) führt, so führt (8) bei festem \(\tau\) durch Differentiation nach \(t\) zu einem neuen System partieller Differentialgleichungen, nämlich \[ \sum_{k=1}^n \left( \sum_{l=1}^n \beta_{il} \frac {\partial g_{jk}}{\partial x_l} \right) \frac {\partial f}{\partial x_k} = 0 \qquad (i=1,2, \dots r) \tag{9} \] wobei in der Klammer die Argumente von \(\beta_{il} \dfrac {\partial g_{jk}}{\partial x_l}\) durch \(g_{j\nu}(x_1, \dots, x_n, - \tau)\) zu ersetzen sind. Verf. nennt nun das System (1) ``vollständig'', wenn die Gleichungen (9) bei festem hinreichend kleinem \(\tau\) Linearkombinationen von (1) sind. Daß die \(g_{jk}\) immer nur mit einem Index geschrieben werden, scheint ein Versehen zu sein. Dieser Vollständigkeitsbegriff kann den alten völlig ersetzen. Es wird bewiesen, daß ein im neuen Sinn vollständiges System von \(r\) linear unabhängigen Gleichungen ein Hauptsystem von \(n - r\) unabhängigen Integralen hat. Der Beweis geht mittels vollständiger Induktion nach \(r\) vor.