Über das alternierende Verfahren von Schwarz. (Q2591356)

Wenn das Dirichletsche Problem für zwei Gebiete \(D_1\) und \(D_2\) mit nichtleerem Durchschnittsgebiet \(D_1 \cdot D_2\) lösbar ist, dann ist das gleiche Problem auch für das Vereinigungsgebiet \(D_1 + D_2\) lösbar. Den Beweis erbrachte \textit{Schwarz} durch die Methode der sukzessiven Approximationen. Die Konvergenz des Verfahrens zeigt man im Anschluß an Schwarz unter der zusätzlichen Voraussetzung, daß sich die Randkurven \(\varGamma_1\) bzw. \(\varGamma_2\) von \(D_1\) bzw. \(D_2\) in den zwei Schnittpunkten nicht berühren. Bedingt wird diese Annahme durch die Anwendung eines Hilfssatzes über das Maximum einer Potentialfunktion auf gewissen Querschnitten in \(D_1 + D_2\). Verf. zeigt, daß das Verfahren auch ohne diese Voraussetzung über den Verlauf von \(\varGamma_1\), \(\varGamma_2\) konvergiert und eine Funktion liefert, die das Dirichletsche Problem für \(D_1 + D_2\) löst. Von zwei passend gewählten Funktionenfolgen \(u_n\) und \(v_n\), \(u_n(z)\) bzw. \(v_n(z)\) in \(D_1\) bzw. \(D_2\) harmonisch, wird mittels des Maximumprinzips in der Phragmén-Lindelöfschen Fassung gezeigt, daß sie monoton wachsend und beschränkt sind. Danach gilt in jedem Teilbereich von \(D_1\) bzw. \(D_2\) \ \(\lim\limits_{n\to\infty} u_n(z) = u (z)\), \(\lim\limits_{n\to\infty} v_n(z) = v (z)\); \(u\) und \(v\) sind innerhalb \(D_1\) bzw. \(D_2\) beschränkt und harmonisch, und im Durchschnittsgebiet \(D_1 \cdot D_2\) gilt \(u (z) \equiv v (z)\). Um zu zeigen, daß die so gewonnenen Funktionen das richtige Randverhalten auf weisen, werden \(u (z)\) und \(v (z)\) mit Potentialfunktionen verglichen, die in den Randpunkten von \(D_1\), \(D_2\) die vorgeschriebenen Randwerte annehmen. Durch genauere Betrachtungen wird dann gezeigt, daß die Lösung der genannten Randwertaufgabe einer gewissen Integralgleichung zweiter Art genügt. Wenn umgekehrt eine beschränkte Lösung dieser Integralgleichung existiert, dann gibt es auch eine Lösung der Randwertaufgabe. Dem Schwarzschen \textit{alternierenden Verfahren} entspricht die Auflösung einer gewissen Integralgleichung zweiter Art durch \textit{sukzessive Approximationen}.