Solutions of Laplace's equation in an \(n\)-dimensional space of constant curvature. (Q2591415)

Verf. hat in einer früheren Arbeit (Proc. Edinburgh math. Soc. (2) 2 (1931), 181-188; F. d. M. \(57_{\text I}\), 559) die Laplacesche Gleichung \[ \varDelta_2V=g^{ij}V_{ij}=0 \tag{1} \] (die unteren Zeiger bedeuten kovariante Ableitungen) in einem \(n\)-dimensionalen Raum mit dem Linienelement \(ds^2= g_{ij}dx^idx^j\) bei verschwindender Krümmung \(K\) behandelt. Jetzt überträgt Verf. seine Methoden auf den Fall konstanter Krümmung. Im \(R_n\) sei \(C\) durch den Vektor \(\overline{\mathfrak x}(\tau)\) beschrieben, der die Bedingungen \[ \frac{d^2\overline{x}^i}{d\tau^2}+\overline{\varGamma}^i_{jk} \frac{d\overline{x}^j}{d\tau}\frac{d\overline{x}^k}{d\tau}=0,\quad \overline{g}_{ij} \frac{d\overline{x}^i}{d\tau}\frac{d\overline{x}^j}{d\tau}=e \tag{2} \] erfüllt, also ist \(C\) eine geodätische Linie; \(s\) bedeute die geodätische Entfernung zwischen \(\overline{\mathfrak x}(\tau)\) und \(\mathfrak x\), \(Q=\cos(\sqrt K s)\); ist dann \(V (u, \tau)\) eine Lösung der Gleichung \[ (u^2+Ke)\frac{\partial^2V}{\partial u^2}2\frac{\partial^2V}{\partial u\partial\tau}+ \frac{nu^2+(n-2)Ke}{u}\frac{\partial V}{\partial u}\frac{n-2}{u}\frac{\partial V}{\partial \tau}=0, \tag{3} \] so ist \(V\left(\dfrac{\partial Q}{\partial \tau},\tau\right)\) eine Lösung von (1), wenn \(\tau\) darin als Funktion der \(x^i\) aus der Gleichung \(Q = 1\) bestimmt wird. Für den Fall einer geodätischen Minimalkurve \((e=0)\) und \(n=2m+2\) findet man auf diesem Wege die Lösung \[ V=\sum_{r=0}^m(-1)^r\frac{2^r}{r!}\frac{\dbinom mr}{\dbinom{2m}r} \left(\frac{\partial Q}{\partial \tau}\right)^{-r} \left\{\varPhi^{(r)}\left(2\left(\frac{\partial Q}{\partial \tau}\right)^{-1} -\tau\right)+\varPsi^{(r)}(\tau)\right\}, \] worin \(\varPhi\), \(\varPsi\) willkürliche Funktionen ihrer Argumente sind. Für \(n=2\) und \(n=4\) bleibt dieser Ausdruck auch dann eine Lösung von (1), wenn man \(C\) als gänzlich beliebige Kurve wählt und \(\varPhi\equiv 0\) setzt. Im Spezialfall \(n=2\) zeigt sich, daß die Transformation \(x=\left(\dfrac{\partial Q}{\partial \tau}\right)^{-1}\), \(y=i\left(\tau-\left(\dfrac{\partial Q}{\partial \tau}\right)^{-1}\right)\) das Linienelement auf die Beltramische Form \(ds^2 =-\dfrac1{Kx^2}(dx^2 + dy^2)\) bringt. Ist \(e\neq 0\), also \(C\) eine nicht isotrope Geodätische, so besitzt die Gleichung \(Q(x^i,\tau)=1\) zwei Lösungen \(\tau\), die sich um \(\dfrac2k \operatorname{arctg} \dfrac{\dfrac{\partial Q}{\partial \tau}}k\), \(k =\sqrt{Ke}\) von einander unterscheiden, was sich geometrisch deuten läßt. Der Grenzübergang \(K\to 0\) führt zu den Ergebnissen der eingangs genannten Arbeit zurück. Der Schluß bringt geometrische Deutungen der verwendeten Größen.