Quelques remarques sur les solutions des équations non linéaires du type hyperbolique. (Q2591460)

Die Differentialgleichung \[ \frac{\partial^2Z}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2Z}{\partial x^2}= \varPhi(x,t)+\mu f(Z) \] mit den Randbedingungen \[ Z(x,0) = Z(x,1),\qquad \left.\frac{\partial Z}{\partial t}\right|_{t=0}= \left.\frac{\partial Z}{\partial t}\right|_{t=1} \qquad Z(0,t)= Z(1,t) = 0 \] besitzt eine samt ihren partiellen Ableitungen zweiter Ordnung im Gebiet (D) \(0\leqq x\leqq 1\), \(0\leqq t\leqq 1\) stetige Lösung mit \(Z (x, t + 1) = Z(x,t)\), wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: \[ |\varPhi(x_1,t_1)-\varPhi(x_2,t_2)|\leqq M_1|x_1-x_2|+M_2|t_1-t_2| \] für alle \((x_1,t_1)\), \((x_2,t_2)\) aus \(D\). \(\varPhi(x,t)\) sei in einer der Formen \[ \varPhi(x,t)=\int\limits_0^x \varPhi_1(\xi,t)d\xi \quad\text{ oder }\quad \varPhi(x,t)=\int\limits_0^t \varPhi_2(x,\xi)d\xi \qquad (\varPhi(0,t)=\varPhi(1,t)=0) \] darstellbar, wo \(\varPhi_1 (x, t)\) und \(\varPhi_2(x,t)\) bezüglich \(x\) und \(t\) von beschränkter Variation für beliebige zu \(D\) gehörige Werte des anderen Arguments sind. Ferner sei \[ \varPhi(x,t+1)=\varPhi(x,t),\qquad \varPhi(x,t)=\sum_{n=0}^\infty \varPhi_{2n+1}(t)\sin(2n+1)\pi x. \] Für \(f (Z)\) gelte \[ | f'(Z_1)-f'(Z_2)|\leqq M|Z_1-Z_2|,\qquad f(Z)=-f(-Z). \] \(|\mu|\) sei kleiner als eine gewisse von \(f(Z)\) und \(a\) abhängige Konstante. Die Aufgabe, die unter weniger allgemeinen Bedingungen von \textit{N. Artemiev} (Bull. Acad. Sci. URSS, Sér. math. 1937, 15-50; F. d. M. \(63_{\text{II}}\), 1035) behandelt wurde, wird nach der Methode der sukzessiven Approximation gelöst. Die so gefundene Lösung ist die einzige, die in eine absolut und gleichmäßig konvergente Sinusreihe entwickelbar ist.