Sulle funzioni di intervallo. (Q2591466)

Eine Intervallfunktion \(\varPhi(\delta)\), die für alle Teilintervalle \(\delta\) eines Grundintervalles \((a,b)\) definiert ist, heißt ``subadditiv'', wenn für jede Zerlegung \(\delta=\delta_1+\delta_2\) die Ungleichung besteht: \(\varPhi(\delta)\leqq\varPhi(\delta_1) + \varPhi(\delta_2)\). Solche ``subadditive Intervallfunktionen'' hat Verf. in seinen ``Fondamenti di calcolo delle variazioni'' (Bologna (1921; F. d. M. 48, 581 (JFM 48.0581.*)), Bd. I, 37-39) näher untersucht. Das wesentliche Ergebnis dieser Untersuchungen, von Verf. ``verallgemeinertes Lemma von Darboux'' genannt, wird in vorliegender Arbeit auf eine allgemeinere Klasse von Funktionen ausgedehnt. Verf. betrachtet sogenannte ``approximativ subadditive Intervallfunktionen'', die durch folgende zwei Bedingungen charakterisiert sind: \(\alpha\)) Zu jedem \(\varepsilon> 0\) gibt es ein \(\lambda_\varepsilon> 0\), so daß für jedes Intervall \(\delta\) aus \((a,b)\) von der Länge \(\leqq\lambda_\varepsilon\) und für eine beliebige endliche Zerlegung \(\delta=\delta_1+\delta_2+\cdots+\delta_n\) die Ungleichung gilt: \[ \varPhi(\delta)\leqq\{\varPhi(\delta_1)+\varPhi(\delta_2)+\cdots+ \varPhi(\delta_n)\}+\varepsilon|\delta|; \] \(\beta\)) zu jedem \(\sigma>0\) gibt es ein \(l_\sigma>0\), so daß für jedes Intervall \(\delta\) aus \((a,b)\) von der Länge \(\leqq l_\sigma\) und für jede beliebige Zerlegung von \(\delta\) in \textit{zwei} Teilintervalle \(\delta_1\) und \(\delta_2\) die Relation besteht: \[ \varPhi(\delta)>\varPhi(\delta_1)+\varPhi(\delta_2)-\sigma. \] Für solche ``approximativ subadditive Intervallfunktionen'' beweist Verf. den Satz, daß bei Zerlegung des Intervalles \((a,b)\) in endlich viele Teilintervalle \(\delta_1, \delta_2,\ldots, \delta_n\) die Summe \(\sum\limits_{r=1}^n\varPhi(\delta_r)\) einem (endlichen oder unendlichen) Grenzwert zustrebt, falls die Einteilung so verfeinert wird, daß die Länge des größten unter den Teilintervallen \(\delta_1,\delta_2, \ldots, \delta_n\) gegen Null geht. Es folgen Anwendungen auf die Theorie der totalen Variation gewisser unstetiger Funktionen und auf die Theorie des Weierstraßschen Integrales in der Variationsrechnung.