The Weierstrass condition for multiple integral variation problems. (Q2591487)

Eleganter Beweis der folgenden \textit{notwendigen} Bedingung für mehrfache Integrale der Form \[ \int f(t_\alpha,x^i,p_\alpha^i)dt_1\cdots dt_n\qquad \left(\alpha=1,\ldots,n,\;i=1,\ldots,m, \;p_\alpha^i=\frac{\partial x^i}{\partial t_\alpha}\right). \] Die Weierstraßsche \(E\)-Funktion sei \[ E(t,x,p,P)=f(t, x, P)-f(t, x, p)- (P^i_\alpha-p^i_\alpha) f_{p^i_\alpha}(t,x, p). \tag{1} \] Dann muß, damit eine Fläche \(x^i(t_\alpha)\) ein Minimum liefern kann, \(E\geqq0\) sein für alle solchen \(P_\alpha^i\), für die die Matrix \((P_\alpha^i - p_\alpha^i)\) den Rang 1 hat. Anschließend wird eine entsprechende Bedingung für Probleme in Parameterdarstellung aufgestellt. Da in dieser Arbeit keine europäische Literatur zitiert wird, sei hier erwähnt, erstens, daß die der obigen Weierstraßschen entsprechende Legendresche Bedingung von \textit{Hadamard} aufgestellt worden ist (Bull. Soc. math. France 30 (1902), 253-256; 33 (1905), 73-80; F. d. M. 33, 387 (JFM 33.0387.*); 36, 430), zweitens, daß (1) keineswegs ``die'' Weierstraßsche \(E\)-Funktion des Problems ist, sondern eine von vielen, sobald man \textit{hinreichende} Bedingungen haben will. (S. z. B. \textit{Lepage}, Acad. Belgique Bull. Cl. Sci. (5) 22 (1936); 716-729, 1036-1046; F. d. M. \(62_{\text{II}}\), 1329.)