Classification of curves on a two-dimensional manifold under a restricted set of continuous deformations. (Q2591498)

Man betrachte alle stetigen Deformationen einer Torusfläche in sich, bei der jeder Punkt des inneren Äquators einen einem Meridiankreis homotopen Weg beschreibt. Für jede Deformation \(\mathfrak A\) sei \(l(\mathfrak A)\) die größte Länge, zu der der Äquator gedehnt wird. Welches ist dann die untere Grenze der Zahlen \(l(\mathfrak A)\), wenn \(\mathfrak A\) alle Deformationen durchläuft? Verf. beweist, daß diese untere Grenze eben die Länge der kürzesten geschlossenen geodätischen Linie auf der Fläche ist, die durch zwei entgegengesetzte Punkte des äußeren Äquators geht; außerdem gibt es eine Deformation, bei welcher diese untere Grenze wirklich erreicht wird. Die genaue Definition dieser Deformation wird angegeben. Um sein Problem zu lösen, muß Verf. zuerst einen Satz über drei konzentrische Kreise in einer Ebene beweisen, nämlich: Sind \(A\), \(B\), \(C\) solche Kreise und stellt \(D(t)\) für \(0 \leqq t\leqq 1\) eine stetige Deformation von \(A\) in \(C\) dar (also \(D(0) = A\), \(D(1) = C\)), so gibt es einen Wert \(t_0\), so daß \(D(t_0)\) den Kreis \(B\) in zwei diametral entgegengesetzten Punkten schneidet.