Sulla risoluzione di due equazioni funzionali del tipo di Volterra. (Q2591518)

Verf. skizziert für zwei Funktionalgleichungen das Lösungsverfahren; bzgl. der Beweise wird auf eine Arbeit von \textit{L. Tonelli} (Bull. Calcutta math. Soc. 20 (1930), 31-48; F. d. M \(56_{\text I}\), 346), in der eine Gleichung von etwas einfacherem Typ behandelt wird, verwiesen. \(A\left[x,{\underset{-x}{\overset {x} {\varphi(y)}}}\right]\) (\(|x|\leqq 1\)) sei ein Funktional über dem Raum der stetigen Funktionen \(\varphi(y)\) (\(|\varphi(y)|\leqq a\)), das den folgenden Bedingungen genügt: \((C_1)\) \(|A|\leqq M\cdot|x|\); \((C_2)\) für passendes \(\varrho\) und \(|x_2 - x_1| < \varrho\), \(|x_2|\geqq|x_1|\) sei \(\left|A\left[x_2,{\underset{-x_2}{\overset {x_2} {\varphi(y)}}}\right]A\left[x_1,{\underset{-x_1}{\overset {x_1} {\varphi(y)}}}\right]\right| \leqq\varepsilon\); \((C_3)\) mit \(|\varphi_1(y)-\varphi_2(y)|<\sigma\) für passendes \(\sigma\) sei \(\left|A\left[x,{\underset{-x}{\overset {x} {\varphi_1(y)}}}\right]A\left[x,{\underset{-x}{\overset {x} {\varphi_2(y)}}}\right]\right| \leqq\varepsilon\). Dann wird die stetige Funktion \(\varphi(x)\) (\(|\varphi(x)|\leqq a\)) für \(| x|\leqq 1\) gesucht, die der Gleichung \(\varphi(x)=f(x)+A\left[x,{\underset{-x}{\overset {x} {\varphi(y)}}}\right]\) genügt. \(f (x)\) ist beschränkt und stetig. Ist \(|f(0)| < a\), so wird eine Folge von Funktionen \(\varphi_n(x)\) angegeben, die gleichmäßig beschränkt und gleichgradig stetig sind. Eine passende Teilfolge konvergiert dann gegen eine Lösung \(\varphi(x)\). Mittels einer gewissen Verschärfung der Bedingung \((C_3)\) ist auch die Einzigkeit der Lösung beweisbar. Unter zusätzlichen Bedingungen kann man sich von der Annahme \(|\varphi(x)|\leqq a\) befreien. Die zweite Funktionalgleichung stellt eine vollkommen analoge Verallgemeinerung der ersten auf \(r\) Dimensionen dar. Ein Spezialfall ist z. B. die Integralgleichung \[ \varphi(x)=f(x)+\int\limits_{-x}^x K(x,y,\varphi(y))dy+ \int\limits_{-x}^x\int\limits_{-x}^x H(x,y,z,\varphi(y),\varphi(z))dy\,dz \] (\(K\) und \(H\) stetige Funktionen ihrer Argumente).