Sur l'application des séries de Fourier à la résolution des équations intégrales et intégrodifférentielles. (Q2591523)

Bedeutet \(L^2\) die Klasse der Funktionen \(F(x)\), für die \(\int\limits_0^1 |f(x)|^2dx\) existiert und endlich ist, und ist \[ \begin{gathered} \mathfrak F_k\{F\}\equiv\int\limits_0^1 e^{-2\pi ixk}F(x)dx\qquad (k = 0, \pm 1,\ldots), \\ F_1 * F_2 * \cdots * F_{n+1}\equiv \int\limits_0^1\cdots \int\limits_0^1 F_1(x-x_1-\cdots-x_n)F_2(x_1)\cdots F_{n+1}(x_n)dx_1\cdots dx_n,\\ F_1(x)=F_1(x+1)\qquad \text{für}\quad -n\leqq x\leqq n, \end{gathered} \] so gilt folgender Satz: Wenn \(F_1\in L^2,\ldots, F_{n+1}\in L^2\) und \(F_1 * F_2 * \cdots * F_{n+1}\in L^2\) ist, so hat man \[ \mathfrak F_k \{F_1 *\cdots * F_{n+1}\}= \mathfrak F_k\{F_1\}\cdots \mathfrak F_k\{F_{n+1}\}\qquad (k = 0, \pm 1,\ldots). \] Mit \(n=1\) gestattet dieser Satz die Lösung von linearen Integralgleichungen 1. und 2. Art sowie von linearen Integrodifferentialgleichungen, deren Kerne die Form \(K(x-y)\) mit \(K(\omega) = K(\omega+1)\) für \(-1\leqq\omega\leqq1\) haben. Die Lösungen werden als Fourierreihen erhalten. Ferner ergeben sich Bedingungen für die Existenz und Einzigkeit einer zu \(L^2\) gehörigen Lösung. Mit beliebigem \(n\) ermöglicht der Satz die Behandlung von nichtlinearen Integralgleichungen der Form \[ f(x)=\int\limits_0^1 \cdots \int\limits_0^1 K(x-x_1-\cdots-x_n)u(x_1)\cdots u(x_n)dx_1\cdots dx_n, \] wo \(K(\omega)=K(\omega+1)\) für \(- n\leqq\omega\leqq n\) ist, und ähnlichen. Die Lösungen sind Fourierreihen, deren Koeffizienten die Wurzeln algebraischer Gleichungen sind.