Sur un théorème de S. Bernstein relatif à la transformation de Laplace-Stieltjes. (Q2591527)

Neuer Beweis für den Satz von \textit{S. Bernstein} (Acta math., Djursholm, 52 (1928) 1-66; JFM 55.0142.*): Eine für \(x>0\) absolut monotone, abnehmende Funktion kann als Laplace-Stieltjes-Integral \[ f(x) = \int\limits_0^\infty e^{-\lambda x}\,d\varPhi(\lambda) \] einer nicht abnehmenden Funktion \(\varPhi(\lambda)\) dargestellt werden. -- Der Beweis beruht auf der von S. Bernstein bewiesenen Tatsache, daß ein solches \(f(x)\) analytisch ist, d. h. daß für \(0 < x < X\) gilt: \[ f(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n \frac{(X-x)^n}{n!}f^{(n)}(X). \] Für den Fall eines absolut monotonen \(f(x)\) ergibt sich folgende Umkehrungsformel des Laplace-Integrals, wobei \(\varPhi(0) = 0\) vorausgesetzt ist: \[ \frac{\varPhi(\lambda-0)+\varPhi(\lambda+0)}2= \lim_{z\to \infty} \left\{\sum_{0\leqq n\leqq x \lambda} (-1)^n\frac{x^n}{n!}f^{(n)}(x)\right\}. \]