Asymptotic expansions in the Heaviside's operational calculus. (Q2591546)

Es handelt sich um eines der Heavisideschen Entwicklungsgesetze, das besagt: Ist \(p=\dfrac d{dx}\) und \(F(z) = \sum a_nz^n\), so liefert der Operator \(F(p)p^{\frac 12}\), angewandt auf den ``Einheitsstoß'', die asymptotische Entwicklung \[ \frac 1{\sqrt{\pi x}}\left(a_0 -\frac{a_1}{2x}+ \frac{1\cdot 3a_2}{(2x)^2}- + \cdots +(-1)^n \frac{1\cdot 3 \cdots (2n-1)a_n}{(2x)^n} + \cdots \right). \] Verf. zeigt, wie unter gewissen Voraussetzungen über \(F(z)\) der Operator \(F(p)p^{\frac 12}\) exakt zu interpretieren ist, und klärt damit einen scheinbaren Widerspruch zwischen einem Resultat von Heaviside für den Fall \(F(p)=\dfrac 1{p^2+\omega^2}\) und einem Resultat von \textit{I. R. Canson}, Electric circuit theory and the operational calculus, 1926, Chap. V) auf. Vgl. hierzu die Behandlung der asymptotischen Entwicklung bei \textit{G. Doetsch}, Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation (1937; JFM 63.0368.*), sowie bei \textit{Bourgin} und \textit{Duffin}, Amer. J. Math. 59 (1937), 489-503; JFM 63.0388.*).