On the representation of functions by certain Fourier integrals. (Q2591550)

\(f(t)\) sei eine komplexwertige Funktion der reellen Variablen \(t\), die für alle \(t\) beschränkt und in jedem endlichen Intervall Lebesgue-integrabel ist. Wann kann sie für fast alle t in einer der drei folgenden Formen dargestellt werden: \[ f(t)= \int\limits_{-\infty}^\infty e^{itx}dF(x) \tag{F} \] mit reellem, beschränktem und nichtabnehmendem \(F(x)\); \[ f(t)=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{itx}dG(x), \tag{G} \] wo \(G(x)\) in \((- \infty, \infty)\) von beschränkter Variation ist; \[ f(t)= \int\limits_{-\infty}^\infty e^{itx}g(x)dx, \tag{g} \] wo \(g(x)\) über \((- \infty, \infty)\) absolut integrabel ist? Zur Beantwortung dieser Frage wird eine Funktion \(\mu(t)\) mit folgenden Eigenschaften betrachtet: \[ \begin{aligned} &\int\limits_{-\infty}^\infty |\mu(t)|\,dt \;\text{ist endlich,} \tag{1} \\ &\mu(t)=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{itx}m(x)\,dx \;\text{mit reellem, nichtnegativem} \;m(x), \tag{2a} \\ &\mu(0)= \int\limits_{-\infty}^\infty m(x)\,dx=1. \tag{2b} \end{aligned} \] Für beliebiges positives \(\varepsilon\) und alle reellen \(x\) werde gesetzt: \[ g_\varepsilon(x)=\frac 1{2\pi} \int\limits_{-\infty}^\infty e^{-itx}\mu(\varepsilon t)f(t)\,dt. \] Dann gelten für die obigen Darstellungstypen die notwendigen und hinreichenden Bedingungen: (F): \(g_\varepsilon(x)\) ist reell und nichtnegativ für \(0 < \varepsilon < 1\) und alle reellen \(x\); (G): \(\int\limits_{-\infty}^\infty |g_\varepsilon(x)|\,dx<C\) für \(0 < \varepsilon < 1\), \(C\) konstant, (g): \(g_\varepsilon(x)\) erfüllt dieselbe Bedingung wie bei (G) und außerdem \[ \lim_{\varepsilon \to 0,\, \varepsilon'\to 0}\int\limits_{-\infty}^\infty |g_\varepsilon(x)-g_{\varepsilon'}(x)|\,dx = 0. \] Erfüllt \(f\) eine solche Bedingung für \textit{ein} \(\mu\), so für alle. Für die spezielle Wahl \[ \mu(t)=\left\{ \begin{matrix} \quad & \;& \l \\ 1-|t| & \text{für}&|t|\leqq 1 \\ 0 &,, & |t|>1 \end{matrix} \right. \] stellen die Bedingungen die Analoga dar zu den von \textit{Hausdorff} (Math. Z. 16 (1923), 220-248; F. d. M. 49, 193 (JFM 49.0193.*)) für ein endliches \(x\)-Intervall gegebenen. Die Untersuchung läßt sich auf Funktionen von mehreren Variablen ausdehnen.