Solutions of some functional equations. (Q2591554)

Bei der vom Verf. in seinem Buch ``Introduction to the theory of Fourier integrals'' (1937, JFM 63.0367.*) gegebenen Lösung von gewissen Funktionalgleichungen vermittels der Fourier-Transformation mußte vorausgesetzt werden, daß die gesuchte Funktion von der Form \(O(e^{c|x|})\) für \(|x| \to \infty\) ist. Durch Abänderung der Methode kann diese Bedingung gemildert oder gestrichen werden. 1) Die von \textit{E. Hilb} (Math. Ann., Berlin, 78 (1917), 137-170; F. d. M. 46, 707 (JFM 46.0707.*)) gelöste Gleichung \[ f'(x) = \frac 1{2h}(f(x+h)-f(x-h)) \] wird mit der ``endlichen'' Fourier-Transformation \[ F_{\alpha,\beta}(w)= \frac 1{\sqrt {2\pi}} \int\limits_\alpha^\beta e^{iwx}f(x)\,dx \] behandelt, wodurch Voraussetzungen über das Verhalten im Unendlichen überflüssig werden. 2) Auf die von \textit{F. Schürer} (Ber. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig, math.-phys. Kl. 70 (1919), 185-240; F. d. M. 47, 425 (JFM 47.0425.*)) behandelte Gleichung \[ f(x) = \int\limits_0^1 k(t)f(x-t)\,dt \] wird die ``einseitig unendliche'' Fourier-Transformation \[ F_\alpha(w)= \frac 1{\sqrt{2\pi}}\int\limits_\alpha^\infty e^{iwx}f(x)\,dx \] angewendet und die Lösung skizziert. 3) Die Gleichung \[ f(x)=\int\limits_{-\infty}^\infty k(t)f(x-t)\,dt \] wird in dem Spezialfall \(k(t)=(2\pi)^{-\frac 12}e^{-\frac 12t^2}\) mit der endlichen Fourier-Transformation behandelt, wobei \(f(y)=O(e^{cy^2})\) mit \(0 < c < \frac 12\) vorausgesetzt wird.