An example in the theory of the spectrum of a function. (Q2591560)

Für eine Funktion \(f(x)\), bei der \[ \varPhi(x) = \lim_{T\to \infty}\frac 1{2T}\int\limits_{-T}^T f(x+t)\bar f(t)\,dt \] für alle reellen \(x\)-Werte existiert, definiert \textit{N. Wiener} (Acta Math., Djursholm, 55 (1930), 117-258; JFM 56.0954.*) \[ S(u)=\frac 1{2\pi}\lim_{X\to \infty}\int\limits_{-X}^X \varPhi(x)\frac{e^{ixu}-1}{ix}\,dx \] als das zugehörige Spektrum. -- Ist eine Gesamtheit solcher Funktionen \(f(x)\) gegeben, aus der zufallsartig eine ausgewählt wird, so kann man mit \textit{G. W. Kenrick} (Philos. Mag., J. Sci., London, (7) 7 (1929), 176-196) und \textit{Wiener} nach dem Erwartungswert von \(S(u)\) fragen. Hierzu betrachtet Verf. das Beispiel, daß die Funktionen \(f(x)\) nur die Werte \(\pm 1\) annehmen mit etwaigen Vorzeichenwechseln nur an den Stellen \(q/p\), wo \(p\) eine genügend große positive, \(q\) eine positive oder negative ganze Zahl ist. Die erhaltenen Formeln besitzen Grenzwerte für \(p \to \infty\).