Wurzeln aus der Hankel-, Fourier- und aus anderen stetigen Transformationen. (Q2591569)

Unter einer ``Wurzel'' aus einer Transformation \(T\) versteht Verf. eine Transformation, deren \(m\)-te Potenz gleich \(T\) ist. So kann man z. B. sofort Transformationen anschreiben, deren \(m\)-te Potenz die Hankel- bzw. Fourier-Transformation ist. Ein allgemeiner Typ von derartigen Transformationen wird durch folgenden Satz gegeben: Satz I. An Hand eines vollständigen orthonormalen Systems \(\{\varphi_n\}\) im Hilbertschen Baum \(\mathfrak H\) wird für reelles \(r\) die Transformation \(T_r\) so definiert: \[ T_rf = g \sim \sum_{n=0}^\infty e^{2i\pi rn}(f,\varphi_n)\varphi_n, \] wo \(f\in \mathfrak H\), \((f,\varphi_n)=\int\limits_a^b f(x)\overline{ \varphi_n(x)}\,dx\) und \(\sim\) quadratische Mittelkonvergenz bedeutet. \(T_r\) hat die Eigenschaften: a) \(T_r\) ist unitär in \(\mathfrak H\), die Umkehrung ist \(T_{-r}\). b) \(T_{r+1}=T_r\), \(T_0=\) Identität. c) \(T_s(T_rf) = T_{r+s}f\), \(T_r^mf = T_{mr}f\) für ganzes \(m\). d) Die sämtlichen Eigenwerte von \(T_r\) sind \(e^{2i\pi rk}\) (\(k=0, 1, 2, \ldots\)), also für irrationales \(r\) sämtlich verschieden (zu jedem \(k\) gibt es dann genau eine Eigenfunktion \(\varphi_k\)); für rationales \(r=\dfrac nm\) gibt es nur \(m\) Eigenwerte; die zum \(k\)-ten Eigenwert \(e^{2i\pi rk}\) (\(0 \leqq k < m\)) gehörigen Eigenfunktionen bilden zusammen mit der Null einen Hilbertschen Raum \(\Re_k\) mit dem vollständigen orthonormalen System \(\{\varphi_{k+sm}\}\), \(s=0, 1, \cdots\). Jede Funktion aus \(\mathfrak H\) ist eindeutig als Summe von höchstens \(m\) zu verschiedenen Eigenwerten gehörigen Eigenfunktionen darstellbar. Für \(s\to r\) ist \(\lim T_s=T_r\). Die analytische Darstellung von Transformationen dieser Art wird geliefert durch Satz II. Mit \(|t| < 1\) werde \[ k(x,y;t) \sim \sum t^n\bar \varphi_n(x)\varphi_n(y) \] gesetzt. Für eine Zahlenfolge \(\{t_n\}\) mit \(|t_n|<1\), \(t_n\to \tau =\) Zahl vom Absolutbetrag 1 möge \(k(x,y;t_n)\) fast überall in \(a\leqq x\), \(a\leqq y\) gegen eine Funktion \(k(x,y;\tau)\) streben; es sei gleichmäßig \(|k(x,y;t_n)| \leqq F(x,y)\), wo \(F(x,y)\) für jedes \(A > 0\) in dem Quadrat \(a\leqq x \leqq A\), \(a\leqq y \leqq A\) quadratisch integrabel ist. Dann läßt sich die Transformation \(g=T^{(\tau)}f\sim \sum \tau^n(f,\varphi_n)\varphi_n\) durch jede der Gleichungen \[ \int\limits_0^v g(\xi)\,d\xi=\int\limits_0^\infty d\xi f(\xi)\int\limits_0^v k(\xi,x;\tau)\,dx, \quad g(x)=\operatornamewithlimits{l.i.m.}\limits_{n\to \infty} \int\limits_a^n k(\xi,x;\tau)f(\xi)\,d\xi \] darstellen und ihre Umkehrung durch die analogen Gleichungen, bei denen \(k(\xi,x;\tau)\) durch \(\overline{k(x,\xi;\tau)}\) ersetzt ist. Satz I wird auch auf stetige, nicht notwendig unitäre Transformationsscharen erweitert.