A theorem on Banach spaces. (Q2591586)

\(E\) sei ein normierter, vollständiger, linearer Vektorraum, \(E_1\) und \(E_2\) lineare, abgeschlossene Teilräume von \(E\), die linear unabhängig sind. \(E_1+E_2\) ist dann und nur dann abgeschlossen, wenn es eine Konstante \(A\) gibt derart, daß für alle Elemente \(\varphi_1\) von \(E_1\) und \(\varphi_2\) von \(E_2\) gilt: \[ ||\varphi_1||\leqq A||\varphi_1+\varphi_2||. \] Der Satz wird auf spezielle Fälle wie den Hilbertschen Raum und den Raum \(L^P\) (\(p \geqq 1\)) angewandt.