The deficiency-spaces of the direct product of symmetric operators. I. (Q2591627)

\(H_1\) sei ein abgeschlossener symmetrischer Operator im Hilbertschen Raum \(\mathfrak H_1\), \(H_2\) sei ein selbstadjungierter Operator im Hilbertschen Raum \(\mathfrak H_2\). \(\mathfrak M_1(\lambda)\) bzw. \(\mathfrak N_1(\lambda)\) seien die Teilräume aller \(f\) mit \(H_1^*f=\lambda f\) für \(\mathfrak I(\lambda)> 0\) bzw. \(\mathfrak I(\lambda) < 0\); \(E_1(\lambda)\) bzw. \(F_1(\lambda)\) seien die dazugehörigen Projektionsoperatoren. \(E_2(\lambda)\) sei die zu \(H_2\) gehörige Zerlegung der Identität. \(E_i\) bzw. \(E_{-i}\) seien die Projektionsoperatoren der zu den Eigenwerten \(i\) bzw. \(-i\) gehörigen Defekträume \(\mathfrak M(i)\) bzw. \(\mathfrak N(-i)\) des direkten Produktes \(H = H_1 \times H_2\). Dann gilt im Sinne der Konvergenz der starken Topologie für Operatoren \[ \begin{gathered} E_i = \int\limits_{-\infty}^{-0}F_1\left(\frac i\lambda\right)\times dE_2(\lambda)+ \int\limits_{+0}^{+\infty}E_1\left(\frac i\lambda\right) \times dE_2(\lambda), \\ E_{-i} = \int\limits_{-\infty}^{-0}F_1\left(\frac {-i}\lambda\right)\times dE_2(\lambda)+ \int\limits_{+0}^{+\infty}F_1\left(\frac {-i}\lambda\right) \times dE_2(\lambda). \end{gathered} \] Nach dem Auszug besprochen.