On the convergence of the process of iteration in the solution of a system of linear algebraic equations. (Q2591703)

Zur angenäherten Lösung des linearen Gleichungssystems \[ x_i= u_i + \sum\limits_{k=1}^n a_{ik}x_k\qquad (i= 1, 2,\ldots, n) \] setzt man beim gewöhnlichen Iterationsverfahren \[ x_i^{(\nu)}=u_i+\sum_{k=1}^n a_{ik}x_k^{(\nu-1)}, \] beim Seidelschen Iterationsverfahren \[ x_i^{(\nu)}=u_i+\sum_{k=1}^{i-1} a_{ik}x_k^{(\nu)}+\sum_{k=1}^n a_{ik}x_k^{(\nu-1)}. \] Verf. beweist: Das gewöhnliche Iterationsverfahren konvergiert dann und nur dann, wenn für die Eigenwerte \(\lambda_i\) der Matrix \(A = (a_{ik})\) die Ungleichungen \(|\lambda_i| < 1\) \((i = 1, 2,\ldots, n)\) gelten. Das Seidelsche Iterationsverfahren konvergiert dann und nur dann, wenn für die Eigenwerte \(\mu_i\) der Matrix \(B = (b_{ik})\) die Ungleichungen \(|\mu_i| < 1\) \((i = 1, 2,\ldots, n)\) gelten; dabei ist \[ b_{1k}=a_{1k}\quad (k= 1, 2,\ldots, n), \] \[ b_{ik} = \sum _{j=1}^{k-1}a_{ij}b_{jk} + \varepsilon _{ik}a_{ik}\quad (i = 2, 3,\ldots, n) \] mit \(\varepsilon_{ik} = 0\) für \(i < k\), \(\varepsilon _{ik} = 1\) für \(i\geqq k\). Verf. zeigt an den Fällen \(n = 2\) und \(n = 3\), daß die Konvergenz des einen Iterationsverfahrens nicht immer die des anderen nach sich zieht, daß insbesondere das gewöhnliche Verfahren konvergieren kann, wenn das Seidelsche divergiert.