Ein Gegenstück zum Meißnerschen Verfahren der graphischen Analysis. (Q2591744)

Verf. wählt für eine reelle Funktion \(p(\vartheta )\) folgende graphische Darstellung: Man habe in der Ebene einen festen Pol O und eine von ihm ausgehende feste Polachse \(g\). Dem Funktionselement \((p, \vartheta )\) wird dann in der Ebene der Punkt \(P\) zugeordnet mit den Polarkoordinaten \(\dfrac{1}{p}\) (Abstand von \(O\)) und \(\vartheta \) (Winkel gegen \(g\)), falls \(p(\vartheta )>0\), bzw. \(\dfrac{1}{|\,p\,|}\) und \(\vartheta +\pi \), falls \(p(\vartheta )<0\) ist. Die so gewonnene Darstellung einer Funktion \(p(\vartheta )\) heißt das Polarbild der Funktion. Ist \(p(\vartheta )\) eine stetig differenzierbare Funktion, so ist das Polarbild eine Kurve \(C\) mit stetiger Tangente. Man erhält in diesem Fall das Polarbild der Ableitung \(p'(\vartheta )\), indem man die Orthopolare zu \(C\) konstruiert, d. h.: Ist \(P\) der Bildpunkt des Funktionswertes \(p(\vartheta )\), so wird der Punkt, der auf der Tangente in \(P\) an \(C\) liegt und das Winkelargument \(\vartheta +\dfrac{\pi }{2}\) \(\biggl(\)bzw. \(\vartheta +\dfrac{3}{2}\pi \biggr)\) hat, der Bildpunkt von \(p'(\vartheta )\). Besitzt die Kurve im Punkt \(P\) einen Knick, so ist das Orthopolarenbild von \(P\) diejenige Strecke, die durch die beiden Knicktangenten von \(C\) in \(P\) auf der Geraden durch \(O\) mit dem Winkelargument \(\vartheta +\dfrac{\pi }{2}\) ausgeschnitten wird. Durch Wiederholung der Orthopolarenbildung sind die Bilder der höheren Ableitungen zu gewinnen. Die graphische Differentiation und Integration einer Funktion läuft bei Benutzung dieser Begriffsbildungen darauf hinaus, von einem Polarbild zur Orthopolaren bzw. von der Orthopolaren zum Polarbild überzugehen. Durch den Umstand, daß die Unendlichkeitsstellen der Funktion \(p(\vartheta )\) in den Punkt \(O\) fallen, ist insbesondere auch die rein graphische Auswertung uneigentlicher Integrale möglich. Den Nullstellen der Funktion entsprechen die Asymptoten des Polarbildes, mit denen man im allgemeinen graphisch ohne Schwierigkeit operieren kann. Sonst hat man auch die Möglichkeit, durch Hinzufügen einer additiven Konstante einen zu untersuchenden Bereich nullstellenfrei zu machen. Besonders geeignet scheint das Verfahren des Verf. zur Integration von Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systemen solcher zu sein. Als Beispiele werden behandelt: die Hängekurve eines Kabels \(\bigl(2p''(\vartheta )=1+\sqrt{1+p^{\prime 2}(\vartheta )}\bigr)\); eine Differentialgleichung dritter Ordnung mit zweiseitigen Randbedingungen, wie sie bei der Biegung rotierender Dampfturbinenscheiben unter dem Einfluß von Axialkräften und Randmomenten auftritt; die allgemeine Lösung des Problems der biegesteifen rotationssymmetrisch gestalteten und belasteten Schale, wozu zwei Differentialgleichungen vierter Ordnung zu untersuchen sind, von denen Verf. die Integration der einen unter Zurückführung auf ein gekoppeltes System von zwei Differentialgleichungen zweiter Ordnung durchführt; und als ein weiteres gekoppeltes System von zwei Differentialgleichungen zweiter Ordnung die Ermittlung der Bahn und Geschwindigkeit eines Geschosses. Das Verfahren des Verf. ist in gewissem Sinne das duale Gegenstück zu dem Verfahren von \textit{E. Meißner} (Graphische Analysis vermittels des Linienbildes einer Funktion, Zürich 1932, JFM 58.1193.*).