Über die Existenz von sogenannten Kollektiven. (Q2591771)

Eine mengentheoretische Deutung der Ergebnisse von \textit{A. Wald} (Ergebn. math. Kolloqu. Wien 8 (1937), 38-72; F. d. M. \(63_{\text{II}}\), 1072): \(\pi\) sei die Merkmalmenge, \(\varPhi\) ein \(\pi\) enthaltender Körper von Untermengen von \(\pi\), \(p (\gamma)\) eine auf \(\varPhi\) definierte nichtnegative, additive Mengenfunktion mit \(p (\pi) = 1\). Unter einer \(n\)-stelligen Auswahlfunktion wird mit Wald eine Funktion \(f_n(P_1, P_2,\ldots, P_n)\) verstanden, die jedem geordneten \(n\)-tupel \(P_1,\,\ldots,\, P_n\) von Punkten aus \(\pi\) eine der Zahlen 0 oder 1 zuordnet. Eine unendliche Folge \(f_0,\, f_1(P_1),\,\ldots,\, f_n(P_1,\, \ldots\, P_n),\,\ldots\) heißt eine Auswahlvorschrift \(A\). Ist \(P = (P_1, P_2,\ldots)\) eine beliebige Folge von Punkten aus \(\pi\), so wird daraus nach der Auswählvorschrift \(A\) eine neue Folge \(P^* = \{P_{r_1}, P_{r_2},\ldots\}\) gebildet, indem man alle Punkte \(P_{r_k}\) auswählt, für die \(f_{r_{k-1}}(P_1,\ldots, P_{r_{k-1}}) =1\) ist. Für eine Menge \(\gamma\in\varPhi\) bezeichne \(a_N (\gamma ; P, A)\) die Anzahl der Indizes \(r_k\) mit \(k \leqq N\), für die \(P_{r_k} \subset\gamma\). Die Folge \(P\) heißt \textit{regulär} gegenüber \(A\), wenn die Folge \(r_k\) entweder abbricht oder aber \[ \lim\frac1N a_N(\gamma;P,A) = p(\gamma) \] ist für alle \(\gamma\in\varPhi\). Die Folgen \(P\) werden als Punkte des Produktraumes \(\varPi=\pi\times\pi \times\pi\times\cdots\) interpretiert. Unter gewissen Voraussetzungen über \(p (\gamma)\) (z. B. Kontinuitätsvoraussetzung) läßt sich \(p(\gamma)\) zu einer absolut additiven Maßfunktion in \(\varPi\) erweitern. Es gilt der Satz: Fast alle Punkte von \(\varPi\) sind regulär gegenüber jeder beliebigen aber festen meßbaren Auswahlvorschrift \(A\). Dieser Satz läßt sich verallgemeinern sowohl hinsichtlich der Auswahlfunktionen als auch der Voraussetzungen über \(p(\gamma)\).