Invariance of the admissibility of numbers under certain general types of transformations. (Q2591779)

Zunächst wird die Eigenschaft der ``admissible numbers'' Copelands oder der Bernoullischen \(W\)-Folgen für zwei Merkmale in folgende Gestalt gebracht: Die Menge aller Systeme natürlicher Zahlen \[ n,\, r_1,\,\ldots,\, r_k\quad \text{mit}\quad 0 < r_1 < r_2 < \cdots < r_k\leqq n \tag{1} \] ist abzählbar und läßt sich daher eindeutig auf die Menge aller natürlichen Zahlen \(\lambda\) abbilden. Ist \(u = e_1,\, e_2,\,\ldots\) eine gegebene Folge der Ziffern 0 und 1, so bedeutet \(T_\lambda\) (der Zahl \(\lambda\) möge das System (1) zugeordnet sein) folgende Transformation: In der Folge \(u\) werden, mit der ersten Ziffer beginnend, Systeme von je \(n\) Ziffern abgeteilt, und es wird \(f_\nu = 1\) gesetzt, wenn \(e_{(\nu-1)n+r_1} = \cdots = e_{(\nu-1)n+r_k} =1\) ist; trifft dieses nicht zu, so wird \(f_\nu = 0\) gesetzt. Es entsteht dann eine Folge \[ v= T_\lambda(u) = f_1,\, f_2,\,\ldots, \] von der gesagt wird, daß sie durch die Transformation \(T_\lambda\) aus \(u\) hervorgegangen sei. \(u\) ist eine admissible number, wenn es eine Zahl \(p\) gibt, so daß der Limes der relativen Häufigkeit der 1 in jedem \(T_\lambda(u)\) gleich \(p^k\) ist. Verf. verallgemeinert diese Transformation, indem er erstens zuläßt, daß in beliebiger Weise Teilsysteme in \(u\) abgeteilt werden, und indem er zweitens jedem möglichen Teilsystem (specified permutation) von 0 und 1 auf Grund eines (willkürlich) gegebenen Gesetzes eine der Ziffern 0 oder 1 zuordnet. Dem \(\nu\)-ten Teilsystem in \(u\) ist dann eine bestimmte Ziffer \(f_\nu = 0\) oder 1 zugeordnet und damit die Folge \(u =e_1,\, e_2,\,\ldots\) in eine Folge \(v= T (u) = f_1,\, f_2,\,\ldots\) übergeführt. Die specified permutations, d. h. diejenigen Anordnungen von 0 und 1 (überflüssige sollen unterdrückt werden), denen eine Ziffer 0 oder 1 zugeordnet ist, müssen noch gewisse (angegebene) Bedingungen erfüllen, damit die Transformation für jedes \(u\) ausführbar ist. Die Transformationen \(T\), für welche diese Bedingung erfüllt ist, werden zu einer Menge \(R\) zusammengefaßt. Die Menge der specified permutations \(P^{(T)}\) zerfällt in zwei Teilmengen \(P_1^{(T)}\) und \(P_0^{(T)}\), je nachdem ihnen die Ziffer 1 oder 0 zugeordnet ist; zu jeder Transformation \(T\) von \(R\) werden die Wahrscheinlichkeitsfunktionen \[ \pi^{(T)}(p) = \sum_{h,\,k} \xi^{(T)}_{h,k} p^hq^k \quad \varrho^{(T)}(p) = \sum_{h,\,k} \omega^{(T)}_{h,k} p^hq^k \] gebildet; dabei ist \(q = 1 - p\), \(\xi^{(T)}_{h,k}\) die Anzahl der Permutationen von \(P_1^{(T)}\), die \(h\) Einsen und \(k\) Nullen enthalten, \(\omega_{h,k}^{(T)}\) die entsprechende Zahl für \(P^{(T)}_0\), und zu summieren ist über alle ganzen Zahlen \(h \geqq 0\), \(k \geqq 0\). Es ist stets \[ \pi^{(T)}(p) + \varrho^{(T)} (p) \leqq 1. \] Gilt hierin für alle \(p\) das Gleichheitszeichen, so wird die Transformation \(T\) zulässig (admissible) oder zu \(R_a\) gehörig genannt. Zwei aufeinanderfolgende Transformationen von \(R_a\) können stets durch eine einzige zulässige Transformation ersetzt werden (Gruppeneigenschaft). Die Menge \(R_a\) ist von der Mächtigkeit des Kontinuums. Ist \(0 < p < 1\) eine rationale Zahl und \(T\) eine zulässige Transformation, so ist (in einem näher beschriebenen Sinne der Maßtheorie) für fast alle \(u\) die Wahrscheinlichkeit \(p[T(u)] =\pi^{(T)}(p)\). Ist \(p\) irrational, so gibt es eine nichtabzählbare Menge \(E\) von admissible numbers mit der Wahrscheinlichkeit \(p\), so daß für jedes \(u\) von \(E\) die transformierte Folge \(T (u)\) eine admissible number mit der Wahrscheinlichkeit \(\pi^{(T)} (p)\) ist. Ist \(D\) irgendeine abzählbare Untermenge von \(R_a\), so gibt es eine Menge \(M\) von admissible numbers mit der Mächtigkeit des Kontinuums, so daß für jedes Element \(u\) von \(M\) die Zahl \(T (u)\) eine admissible number mit der Wahrscheinlichkeit \(\pi^{(T)}(p)\) ist, wenn der Zahl \(u\) die Wahrscheinlichkeit \(p\) zukommt. Für weitere Sätze und für Beispiele sei auf die Arbeit selbst verwiesen.